siyuv: (Default)
[personal profile] siyuv
Пришел ко мне вчера студент (любимый, надо сказать) и попросил рассказать о классифицирующих пространствах и о том что именно они классифицируют. Ну, думаю, настало время опробовать программу dmitri_pavlov@ljr. Нет, ну я конечно не садист какой, рассказал ему сначала про конструкцию Милнора, обсудили почему стягивается и т.д.

А потом говорю, -- Забудь, это все в 50-х осталось, мы теперь по другому мыслим, бескоординатно.


Берем произвольную топологическую группу G, вводим наивную (проективную, поуровневую) модельную категорию на G-пространствах. Тогда EG это просто кофибрантная аппроксимация точки, а BG соответственно ее пространство орбит. Что же будем классифицировать? Разумеется главные расслоения, которые в нашей модели будут представлены кофибрантными объектами (G-CW-комплексами и их ретрактами). Хорошо бы это как-нибудь доказать, но это уж пусть те кто все еще в координатах мыслят мучаются. Мы тут высокой наукой заниматься будем.

Oтображение главного расслоения (G-CW-комплекса) X в универсальное EG строится за даром при помощи подъема в квадратике где слева стоит корасслоение ∅ ↪ X, а справа тривиальное расслоение EG ↠ ∗.

Остается понять почему гомотопные отображения f и g из базового пространства B в BG индуцируют изоморфные главные расслоения над B. Это проверяется при помощи отображений между Ef и Eg , которые строятся с использованием промежуточного главного раслоения Eh над B×[0;1], где h гомотопия между f и g. Попутно устанавливается, что построенные отображения a: Ef → Eg и b: Eg → Ef оказываются тривиальными расслоениями как ретракты тривиальных расслоений a': Eh → Eg и b': Eh → Ef , которые в свою очередь являются тривиальными расслоениями как пуллбэки (кстати, как это по русски?) тривиального расслоения p: B×[0,1] → B вдоль отображений факторизации по действию группы на главных расслоениях Ef и Eg. Теперь нужно проверить, что a и b обратимы. Это мы будем проверять только для CW-комплексов в качестве базовых пространств. А для CW-комплексов легко понять, что пуллбэк поднимает клеточную структуру до G-CW (он коммутирует с фильтрованным копределом, а для каждой отдельной клеточки это непосредственно видно), т.е. Ef , Eg G-CW-комплексы, а значит кофибрантны, иначе, главные расслоения в нашей терминологии. После этого можно убедиться в существовании обратной стрелочки, скажем к a, посмотрев на коммутативный квадратик с a стоящим справа, ∅ ↪ Eg слева и тождественным отображением внизу. Из вышесказанного следует, что подъем существует. Q.E.D.


К концу изложения мой студент начал заметно клевать носом, но это наверное от жары.

Date: 2009-01-30 07:18 am (UTC)
From: [identity profile] dmitri-pavlov.livejournal.com
Спасибо! Очень интересно!

А что в данном случае имеется ввиду под проективной и поуровневой модельной структурой?

>тривиальных расслоений p_0 , p_1: B×[0,1] → B

А чем отличаются p_0 и p_1?

Date: 2009-01-30 12:27 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
...под проективной и поуровневой модельной структурой имеется ввиду самая простая модельная категория на диаграмах пространств (с поуровневыми=levelwise слабыми эквивалентностями и расслоениями). Раньше она называлась Боусфилда-Кана, но постепенно ее стали называть проективной, в противоположность инъективной (с поуровневыми корасслоениями) структуре на симплициальных множествах, которая раньше называлась по имени Хеллера.

А чем отличаются p_0 и p_1? -- видимо ничем. Я подправил текст.

Off-topic

Date: 2009-02-02 01:06 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Не знаете ли Вы хорошей ссылки для построения по симметрической строго моноидальной категории Γ-пространства Сигала?

Re: Off-topic

Date: 2009-02-02 01:29 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Нашел у Мэя, но, может, Вы знаете что-нибудь еще?

Re: Off-topic

Date: 2009-02-02 01:59 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Вы эту статью имеете ввиду?

Re: Off-topic

Date: 2009-02-02 02:24 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Нет, старую, в Topology 1978. На удивление, всего 4 страницы.

Re: Off-topic

Date: 2009-02-02 01:58 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Что-то я не соображу зачем по симметрической строго моноидальной категории строить гамма-пространство?

Re: Off-topic

Date: 2009-02-02 02:23 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Ну, хочется. Будет Γ-пространство, будет и бесконечнократное пространство петель.

Re: Off-topic

Date: 2009-02-02 03:39 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Есть недавняя статья Аронэ-Лешь, но подробностей я не смотрел.
(screened comment)

Re: offtopic

Date: 2009-02-03 03:14 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Спасибо! Я тут написал обзорный пост с достижениями за год, но убрал под глаз.

Re: offtopic

Date: 2009-02-03 06:16 am (UTC)
From: [identity profile] nevelichko.livejournal.com
как-то очень добротно спрятал.
мне не видно, например.
в любом случае -- новых достижений и радостей.

Re: offtopic

Date: 2009-02-03 06:37 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Открыл для тебя. Посмотри.

Re: offtopic

Date: 2009-02-04 03:15 pm (UTC)
From: [identity profile] nevelichko.livejournal.com
здорово. думаю, ему будет интересно прочесть эти записки спустя годы.
мне вспомнился наш поход в Чикагский институт искусств и звонок М.,
"в ожидании Г."

Re: offtopic

Date: 2009-02-04 03:19 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Надеюсь, что будет интересно.

Если ты решил предаваться воспоминаниям на личные темы, то лучше это делать под замком.

Re: offtopic

Date: 2009-02-05 01:43 am (UTC)
From: [identity profile] nevelichko.livejournal.com
пардон -- я считал, что ты уже спрятал всю эту ветку.
feel free to screen or delete anything or everything.

Re: offtopic

Date: 2009-02-06 01:08 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
По-моему нельзя спрятать ветку так чтобы не были видны новые комменты. Не буду я ни стирать не скринить. Просто здесь лучше говорить про главные расслоения, а эту беседу лучше перенести туда, где я для нее выделил место.

Date: 2011-12-19 05:07 pm (UTC)
From: [identity profile] mikhandr.livejournal.com
Здорово, только я тоже начал кивать, только не от жары.. :-)
В координатах веселее как-то ;-)

А что значит "поуровневые слабые эквивалентности и расслоения"?

Date: 2011-12-23 05:57 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Если как следует выучить модельные категории, то преимущество вышеописанного подхода становится самоочевидным.

В данном случае поуровневые слабые эквивалентности означает, что эквивариантное отображение является обычной слабой эквивалентностью.

Date: 2011-12-23 06:12 am (UTC)
From: [identity profile] mikhandr.livejournal.com
Понял, спасибо.

Profile

siyuv: (Default)
siyuv

April 2017

S M T W T F S
      1
234567 8
9101112131415
16171819202122
23242526272829
30      

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 25th, 2017 06:07 am
Powered by Dreamwidth Studios