Понятно почти все, кроме последнего предложения -- это плохо, ради него все и писалось.

О каких вычислениях идет речь? -- о вычислениях гомотопических групп пространств отображений между объектами абстрактной модельной категории.

Нестабильные спектралки Адамса записывались уже давно -- для пространств, да.

и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом -- Стовер ученик Кана, последнего не знаю.

...сложилась некая мотивная наука, позволяющая об арифметике судить универсально и триангулировано - не удивительно, арифметика слишком богата -- этого предложения я не понял.

Попробуйте найти спектралку, существенно использующую модельные категории, которая позволит вам вычислить K_4(Z) -- это не так-то просто сделать. Доказательство Рогнеса не простое и я уверен, что там не одна спектральная последовательность. Вообще же по Квиллену высшие К-группы это гомотопические группы некоего пространства, поэтому новой модельной категории тут не требуется. Просто наличие спектральной последовательности это не панацея. Если удается что-то посчитать, то это удача.