есть ли утверждения классической теории гомотопий, для док-ва которых существенно требуется использование модельных категорий? -- например построение гомотопических локализаций. Если стремиться к функториальным конструкциям, то без техники модельных категорий не обойтись. Можно, конечно, притвориться, что мы не пользуемся модельными категориями, а всего лишь применяем small object argument, как это сделал Боусфилд в работе про локализацию пространств по отношению к гомологиям, но это самообман, поскольку реально все равно приходится работать в стандартной модельной категории пространств.

Вообще же модельные категории это удобный инструмент (вроде лопаты) часто применяющийся для внутренних задач теории гомотопий. Чаще всего можно обойтись и без них (можно выкопать яму и руками), но владение им сильно помогает. Например гомотопические копределы можно вычислять по формулам приведенным в Боусфилде-Кане, но если использовать совсем немного техники, то можно сказать, что это обычный копредел кофибрантной замены исходной диаграммы в проективной модельной категории диаграмм пространств (если есть лопата, то зачем копать руками?).

А можно привести "чистые" утверждения? -- я не понял вопрос.

... модельные категории просто не нужны и являются надуманной абстракцией -- это довольно распространенная точка зрения. Я с ней разумеется не согласен. Мне кажется, что основная причина ее распространения была в недостатке элементарных введений в эту область. Книжка Квиллена через-чур сложна для первого чтения, но с появлением статьи Двайера-Спалинского и книжки Хови ситуация начала улучшаться.