...под проективной и поуровневой модельной структурой имеется ввиду самая простая модельная категория на диаграмах пространств (с поуровневыми=levelwise слабыми эквивалентностями и расслоениями). Раньше она называлась Боусфилда-Кана, но постепенно ее стали называть проективной, в противоположность инъективной (с поуровневыми корасслоениями) структуре на симплициальных множествах, которая раньше называлась по имени Хеллера.

А чем отличаются p_0 и p_1? -- видимо ничем. Я подправил текст.