Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[sowa.livejournal.com]

Насколько я знаю - и попытался указать на это в треде у Аввы - модельная структура Строма изучалась неявно, и до его работы тоже. Расслоения Гуревича, корасслоения и настоящие гомотопические эквивалентности являются центральными понятиями теории гомотопий, как легко убедится, взглянув на книги Постникова, tom Dieck-Kpams-Puppe (это на немецком), и другие.

На работу Строма имеется около 20 ссылок, зарегистрированных MathSciNet (то есть за последние 10 лет, не больше). Что очень неплохо для столь давней работы. Я посмотрел одну из этих работ, Dwyer-Weiss-Williams, на мой взгляд очень интересную. Там ссылаются на работу Строма для доказательства того, что некая категория является категорией Вальдхаузена, что, видимо, очень важно для работы Dwyer-Weiss-Williams.

По поводу Мэя. Мэй не один раз писал, и не только в рассылках, но и в публикациях и reviews (рассылок еще и не было), что та или иная работа чем-то плоха, или что он видит в ней существенные дыры. Его обычная цель - перенаправить читателя к его собственным трудам. Мне это кажется не очень достойным поведением. В целом влияние Мэя на этот предмет на мой посторонний взляд убийственное. Изучать работы Мэя невозможно - по каждому поводу он пишет несколько книг, и ради чего их читать - непонято. Но он вытеснил практически всех, кто не принадлежит к его школе.

При этом я вполне допускаю, что Стром допустил ту же ошибку, что и другие в его время - работал с топологическими пространствами там, где нужны компактно-порожденные. Чтобы это выяснить, надо читать работу, а не агитацию Мэя.

Судя по тому, что удается найти в сети, Стром бросил математику после трех работ, и это наводит на мысль, что все идеи этих трех работ принадлежат его руководителю. Мне не удалось даже выяснить, кто был его руководителем. Мои предположения - D. Puppe, V. Puppe, T. tom Dieck, A. Dold. Это я к тому, что не стоит называть эту категорию категорией Строма. Лучше придумать нейтральное название; я бы предложил такие категории называть по названию используемых расслоений.

Интересно, есть ли модельная категория, в которой расслоениями являются расслоения Дольда?

Мне кажется, что использование модельной категории Серра (используя предложенную терминологию) как минимум не очень элегантно. Мы не стремимся изучать детально все гомотопические типы, но абстрактная теория хорошо работает и в случае Гуревича, и многие слабые гомотопические эквивалентности на самом деле являются настоящими (один из Puppe).

[sowa.livejournal.com]

Я посмотрел вторую работу Коула, и не заметил там никаких претензий к доказательствам Строма. Если бы у Строма были дыры, известные Коулу, он был бы просто объязан на них указать. Он не передоказывает теорему Строма в ослабленном виде, а доказывает нечто иное.

Мэй же пишет:

"Strom proves the conclusion of the theorem for general spaces, and his argument works for k-spaces, but the details of his proof must of course differ from Cole's."

Это совсем не похоже на утверждение о том, что у Строма есть дыры. Насчет тонкого места:

"However, there is another quite subtle point in Strom's proof of the model axioms. The factorization of a map as the composite of a cofibration and an acyclic fibration makes use of the fiberwise join (or generalized Whitney sum), and a key point is an old observation (of somebody named Hall) that the fiberwise join of (Hurewicz) fibrations is a fibration."

"A subtle point" - это не ошибка, и не дыра. Это просто a subtle point - нечто нетривиальное, и (видимо, это и хотел подчеркнуть Мэй) не обощающееся очевидным образом.

Так что, мне кажется, Ваши претензии к работе Строма необоснованы.

ProfesorMulke

[(Anonymous)]

Российская федерация

Охота