![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Зачем нужны модельные категории
Модельные категории были введены Квилленом в конце 60-х и сразу же получили интересные применения: рациональная гомотопическая теория, когомологии Андре-Квиллена. Однако больше Квиллен к ним кажется не возвращался. Даже в большой работе по алгебраической К-теории, принесшей ему медаль Филдса, модельные категории не используются, хотя и напрашиваются (там в начале разрабатывается абстрактная гомотопическая теория для категорий и функторов -- соответствующая модельная категория была построена Томасоном).
Дальнейшая разработка идей связанных с модельными категориями перешла почти исключительно к школе Кана. Конечно можно найти и исключения, например Алекс Хеллер, который предлагал собственные подходы к абстрактной гомотопической теории еще до Квиллена, или Рик Жардин, который попытался еще в 81-м году применить методы гомотопической алгебры к алгебраической геометрии. Но безусловно, что на фоне общего спада активности в алгебраической топологии с середины 70-х по середину 80-х, эта область осталась на плаву в первую очередь благодаря Кану и его ученикам, некоторым из которых увлечение столь абстрактными идеями стоило карьеры.
В 79-80 годах появилась серия работ Двайера и Кана которая увенчалась следующим замечательным результатом: структура модельной категории несет в себе информацию о высших гомотопиях пространства отображений между двумя объектами. Другими словами, даже если данная модельная категория не имеет отношения к пространствам или симплициальным множествам (в частности не имеет оснащения над ними), все равно можно говорить о гомотопическом типе пространства отображений между объектами. Если же модельная категория симпициальна, то гомотопический тип пространства отображений полученного методом Двайера-Кана волшебным образом совпадает с пространством отображений имеющимся в структуре оснащенной модельной категории.
В конце 80-х начинается медленный подъем в алгебраической топологии. Начинается он, на мой взгляд, с доказательства гипотез Равенеля в стабильной гомотопической теории (Девинац-Хопкинс-Смит), но модельные категории не приобретают популярности, несмотря на то, что Жардину и Жойалю удалось (независимо) построить локальную модельную категорию для произвольного сайта и получить первые применения в алгебраической К-теории (Жардин). Позднее эта модельная категория сыграла важную роль в мотивной гомотопической теории.
Реабилитацию модельные категории получили только с появлением работы Мореля-Воеводского, где использовались не только как удобный формализм, но и для создания новых вычислительных инструментов. Надо сказать что к концу 90-х, когда появилась работа Мореля-Воеводского, школа Кана создала хорошо развитую теорию. Имелось два незазвисимых подхода к локализациям (Хиршхорна и Смита). Рукопись Хиршхорна была доступна в интернете на протяжении по-крайней мере 5 лет и служила очень хорошим подспорьем для начинающих (изданная по ней в 2003 коду книга P.S. Hirschhorn, Model categories and their localizations является наиболее полной на сегодняшний день коллекцией фактов о модельных категориях и часто цитируется). Вводная статья Двайера и Спалинского (W.G. Dwyer and J. Spalinski, Homotopy theories and model categories), а позднее книжка Хови (M. Hovey, Model Categories) тоже здорово способствовали популяризации. Морель и Воеводский использовали накопленную технику насколько это было возможно, но им пришлось также развивать кое-какие направления и собственными силами (например общих работ о стабилизации модельных категорий на тот момент не было). В тот же период появляется еще один долгожданный результат: замкнутая, симметричная, моноидальная модель для стабильной гомотопической теории, даже 3 разных модели; начинается массовый перенос результатов из теории колец на кольцевые спектры (то что Мэй назвал Brave new algebra).
В начале 2000-х начинается новый этап развития теории модельных категорий. Подключается много новых людей. Появляются как чисто технические результаты, расширяющие наш кругозор в этой области (например первые модельные категории не порожденные корасслоениями или результаты Даггера о порождении модельных категорий образующими и соотношениями D. Dugger, Combinatorial Model Categories Have Presentations), так и результаты направленные на приложения вне алгебраической топологии (например работа Айзаксена -- D. Isaksen про этальную гомотопическую теорию или работа Даггера и Шипли -- B. Shipley про К-теорию колец, независимо подтвердившая часть сложных результатов Нэемана).
Наконец можно перейти к вопросу о том для чего нужны модельные категории. На мой взгляд, основная задача модельных категорий это перенос результатов алгебраической топологии на другие области. Конкретнее, вычислительный аппарат накопленный в топологии хотелось бы научиться применять где-то еще. Именно в этом ключе написана работа Мореля-Воеводского. Распространение их успеха на другие области кажется очень привлекательным и перспективным занятием. По мнемоническому правилу, выведенному Марком Хови, модельная категория возникает там, где появляется слово "гомология". Слабыми эквивалентностями должны стать гомологические эквивалентности. А поскольку сегодня гомологические техники исключительно популярны, то и потенциальных областей приложения для модельных категорий должно быть достаточно.
Вопрос в том, каким именно образом переносить вычислительные методы из топологии куда-то еще? Как обобщить спектральную последовательность Серра, например, мне не известно, но хотелось бы рассказать об одном результате Боусфилда (G&T 2003) исключительной общности, который использует достаточно сложные технические средства, и остается из-за этого без должногого внимания за пределами области, хотя именно от него ожидаются результаты прикладного характера.
Технические детали изложить здесь не удасться, но в общих чертах Боусфилду удалось сделать следующее: для самой общей модельной категории (в смысле Квиллена) построена гомотопическая спектральная последовательность сходящаяся к гомотопическим группам пространства отображений между двумя объектами. Пространство отображений следует рассматривать в смысле Двайера и Кана. Можно добавить, что эта работа является обобщением гомотопической спектральной последовательности построенной Боусфилдом и Каном в начале 70-х, которая в свою очередь является нестабильным аналогом спектральной последовательности Адамса. Удивительной является необычайная общность работы --- никаких ограничений на модельную категорию. Дело теперь за малым -- найти приложения.
Так или иначе, но сегодня можно смело говорить, что модельная категория является вычислительным инструментом, а не только формальной структурой позволяющей определить гомотопическую категорию.
Дальнейшая разработка идей связанных с модельными категориями перешла почти исключительно к школе Кана. Конечно можно найти и исключения, например Алекс Хеллер, который предлагал собственные подходы к абстрактной гомотопической теории еще до Квиллена, или Рик Жардин, который попытался еще в 81-м году применить методы гомотопической алгебры к алгебраической геометрии. Но безусловно, что на фоне общего спада активности в алгебраической топологии с середины 70-х по середину 80-х, эта область осталась на плаву в первую очередь благодаря Кану и его ученикам, некоторым из которых увлечение столь абстрактными идеями стоило карьеры.
В 79-80 годах появилась серия работ Двайера и Кана которая увенчалась следующим замечательным результатом: структура модельной категории несет в себе информацию о высших гомотопиях пространства отображений между двумя объектами. Другими словами, даже если данная модельная категория не имеет отношения к пространствам или симплициальным множествам (в частности не имеет оснащения над ними), все равно можно говорить о гомотопическом типе пространства отображений между объектами. Если же модельная категория симпициальна, то гомотопический тип пространства отображений полученного методом Двайера-Кана волшебным образом совпадает с пространством отображений имеющимся в структуре оснащенной модельной категории.
В конце 80-х начинается медленный подъем в алгебраической топологии. Начинается он, на мой взгляд, с доказательства гипотез Равенеля в стабильной гомотопической теории (Девинац-Хопкинс-Смит), но модельные категории не приобретают популярности, несмотря на то, что Жардину и Жойалю удалось (независимо) построить локальную модельную категорию для произвольного сайта и получить первые применения в алгебраической К-теории (Жардин). Позднее эта модельная категория сыграла важную роль в мотивной гомотопической теории.
Реабилитацию модельные категории получили только с появлением работы Мореля-Воеводского, где использовались не только как удобный формализм, но и для создания новых вычислительных инструментов. Надо сказать что к концу 90-х, когда появилась работа Мореля-Воеводского, школа Кана создала хорошо развитую теорию. Имелось два незазвисимых подхода к локализациям (Хиршхорна и Смита). Рукопись Хиршхорна была доступна в интернете на протяжении по-крайней мере 5 лет и служила очень хорошим подспорьем для начинающих (изданная по ней в 2003 коду книга P.S. Hirschhorn, Model categories and their localizations является наиболее полной на сегодняшний день коллекцией фактов о модельных категориях и часто цитируется). Вводная статья Двайера и Спалинского (W.G. Dwyer and J. Spalinski, Homotopy theories and model categories), а позднее книжка Хови (M. Hovey, Model Categories) тоже здорово способствовали популяризации. Морель и Воеводский использовали накопленную технику насколько это было возможно, но им пришлось также развивать кое-какие направления и собственными силами (например общих работ о стабилизации модельных категорий на тот момент не было). В тот же период появляется еще один долгожданный результат: замкнутая, симметричная, моноидальная модель для стабильной гомотопической теории, даже 3 разных модели; начинается массовый перенос результатов из теории колец на кольцевые спектры (то что Мэй назвал Brave new algebra).
В начале 2000-х начинается новый этап развития теории модельных категорий. Подключается много новых людей. Появляются как чисто технические результаты, расширяющие наш кругозор в этой области (например первые модельные категории не порожденные корасслоениями или результаты Даггера о порождении модельных категорий образующими и соотношениями D. Dugger, Combinatorial Model Categories Have Presentations), так и результаты направленные на приложения вне алгебраической топологии (например работа Айзаксена -- D. Isaksen про этальную гомотопическую теорию или работа Даггера и Шипли -- B. Shipley про К-теорию колец, независимо подтвердившая часть сложных результатов Нэемана).
Наконец можно перейти к вопросу о том для чего нужны модельные категории. На мой взгляд, основная задача модельных категорий это перенос результатов алгебраической топологии на другие области. Конкретнее, вычислительный аппарат накопленный в топологии хотелось бы научиться применять где-то еще. Именно в этом ключе написана работа Мореля-Воеводского. Распространение их успеха на другие области кажется очень привлекательным и перспективным занятием. По мнемоническому правилу, выведенному Марком Хови, модельная категория возникает там, где появляется слово "гомология". Слабыми эквивалентностями должны стать гомологические эквивалентности. А поскольку сегодня гомологические техники исключительно популярны, то и потенциальных областей приложения для модельных категорий должно быть достаточно.
Вопрос в том, каким именно образом переносить вычислительные методы из топологии куда-то еще? Как обобщить спектральную последовательность Серра, например, мне не известно, но хотелось бы рассказать об одном результате Боусфилда (G&T 2003) исключительной общности, который использует достаточно сложные технические средства, и остается из-за этого без должногого внимания за пределами области, хотя именно от него ожидаются результаты прикладного характера.
Технические детали изложить здесь не удасться, но в общих чертах Боусфилду удалось сделать следующее: для самой общей модельной категории (в смысле Квиллена) построена гомотопическая спектральная последовательность сходящаяся к гомотопическим группам пространства отображений между двумя объектами. Пространство отображений следует рассматривать в смысле Двайера и Кана. Можно добавить, что эта работа является обобщением гомотопической спектральной последовательности построенной Боусфилдом и Каном в начале 70-х, которая в свою очередь является нестабильным аналогом спектральной последовательности Адамса. Удивительной является необычайная общность работы --- никаких ограничений на модельную категорию. Дело теперь за малым -- найти приложения.
Так или иначе, но сегодня можно смело говорить, что модельная категория является вычислительным инструментом, а не только формальной структурой позволяющей определить гомотопическую категорию.
no subject
Я вставил некоторые ссылки в текст. Если мало, то скажите, добавлю еще.
Какое-то время действительно казалось, что рукопись Хиршхорна может постигнуть печальная участь. Время от времени в ней вылавливали ошибки и особого доверия основной результат (теорема о локализации) не вызывал. В то же время, даже на ранних этапах она была очень полезна, поскольку собрала очень большое количество материала, включая неопубликованные леммы Кана. Но в конце-концов Хиршхорн взял себя в руки и дописал ее, выкинув, правда, одну интересную главу (мне из-за этого пришлось ссылки менять по всему докторату). Книжка вышла в 2003.
-- не знаю можно ли так сказать, просто в середине 70х стало понятно, что гомологические эквивалентности можно рассматривать как расширение понятия слабых эквивалентностей. Боусфилд построил локализации пространств по-отношению к гомологическим эквивалентностям. Соответствующие модельные категории строились в приложении, но построение функторов локализации тоже не обошлось без техники Квиллена -- Боусфилд немного обобщил его small object argument.
Да и у Квиллена была модельная категория на (ограниченных) цепных комплексах с квази-эквивалентностями в качестве слабых эквивалентностей.
no subject
Вы добавили как раз те ссылки, которые я хотел. Хорошо, что Вы указали на связь рукописи с книгой. А что он выкинул?
К самому посту. А почему Вы игнорируете работы по гипотезам Сулливана и Сигала, в 80-е? Если их добавить, то получится, что никакого особенного "спада активности в алгебраической топологии с середины 70-х по середину 80-х" не было.
no subject
Так и знал, что дойдет до выставления оценок. Я не игнорирую доказательства гипотез Сулливана и Сигала. Именно о них я говорил в предыдущей беседе, как о работах решающих задачи поставленные в начале 70х годов методами начала 70х. Сильные работы, имевшие важные приложения. Но это в основном спортивные достижения. Они не стали результатом работы групп математиков и не создали новых направлений, которые привлекли бы свежие силы. Под влиянием работы Миллера Фаржун с Забродским разработали эквивариантную гомотопическую теорию в стиле Бредона, но для произвольных диаграмм, в надежде продвинуться к общей гипотезе Сулливана. К сожалению лучшего понимания работы Миллера достичь тогда не удалось. Работа Карлсона не вызвала, кажется, даже таких попыток, хотя я могу чего-то не знать.
Есть правда другие, менее известные работы этого периода, которые положили начало новым направлениям, но развитие они получили только в начале--середине 90-х.
Конечно я не могу судить объективно о настроениях царивших в 80-е годы, но если пытаться оценивать состояние области по работам, то имеет смысл смотреть на активные направления, приведшие к интересным результатам, а не на отдельно стоящие сильные работы.
Косвенное свидетельство того, что упадок имел место, я однако получил. На моей первой большой конференции в 2000 году один пожилой тополог начал свое выступление так: "Я вижу в зале много молодежи -- верный признак хорошего состояния нашей области". Я, помниться, тогда расстроился. Ведь когда состояние действительно хорошее, то такие признаки никто не ищет.
no subject
"Сильные работы, имевшие важные приложения."
Область, в которой есть такие результаты, наверное, не очень-то в упадке.
"Они не стали результатом работы групп математиков..."
В этом, на мой взляд, нет ничего дурного.
...и не создали новых направлений, которые привлекли бы свежие силы."
Может, проблема была с отсутствием "свежих сил", или с тем, что свежие силы были перетянуты в другие области? (Я думаю, что был и недостаток свежих сил, и перетягивание их в другие области - см. мою беседу с Летающим Медведем.)
"...если пытаться оценивать состояние области по работам, то имеет смысл смотреть на активные направления, приведшие к интересным результатам, а не на отдельно стоящие сильные работы."
Наполовину противоположно моему подходу. Бывают индивидуальные достижения, бывают коллективные. Из двух главных достижений математики 20-го века одно - индивидуальное (алгебраическая геометрия Гротендика), другое - коллективное (условно "гомологическая алгебра", куда я включаю и теорию гомотопий).
no subject
-- куда-то же они должны были деться.
Дело не в том коллективное достижение или личное, а в том какие последствия оно имело. Работа Гротендика основала целую область в науке. С 75 по 85 не возникло ни одного нового направления в алгебраической топологии и не было впечатляющих приложений к другим областям. Это привело к снижению популярности, последствия которого сказываются (на социальном уровне) до сих пор.
Вы слишком широко трактуете предмет гомологической алгебры, но это скорее тема нашей предыдущей беседы.
no subject
Раз уж Вы говорите, уже не первый раз, про социальные аспекты. Я думаю, что они тут сыграли очень большую роль. Например, в СССР Новиков ликвидировал к концу 70-х почти всю топологию, и алгебраическую, и дифференциальную. Всех своих лучших учеников перетащил сначала в интегрируемые системы, а потом просто во всякие уравнения. На Западе Сулливан бросил топологию в конце 70-х. У него учеников-топологов два или три, не особенно сильных. Ну а после Дональдсона все ринулись учить физические уравнения.
Мне бы хотелось, чтобы эти уравнения были заменены на какой-то вариант алгебраической топологии. Скажем, бесконечномерные многообразия, на которых все это происходит, должны иметь дополнительную структуру, позволяющую строить "теорию гомотопий" - если угодно, они должны образовывать другую модельную категорию, отличную от обычной.
В расширенном смысле я включаю в гомологическую алгебру и алгебраическую топологию, и алгебраическую К-теорию. В этих случаях я ставлю кавычки. Но и собственно гомологическая алгебра - коллективное достижение.
no subject
Звучит интригующе, но пока мало понятно. Если возможно, то поясните пожалуйста поподробнее свою идею.
no subject
Мэй и с Каном что-то не поделил! (Уже шла речь о Бордмане.) Что же это за кошмар такой?
Если бы я мог как следует сформулировать свою идею, то я бы, наверное, ее реализовал и работал бы в Гарварде. Насколько я себе представляю, в теории Дональдсона-Флоера-Сайберга-Виттена-... рассматриваются, в первом приближении, бесконечномерные многообразия, построенные по данному четырехмерному. Сами по себе они интересных инвариантов не имеют, но с исходного конечномерного многообразия приходит дополнительная структура, и изучаются когомологические инварианты этой структуры. Проблема в том, что никто не сформулировал явно, что это за структура, и все работают с объектами, строящимися в терминах исходного четырехмерного многообразия. В пользу этого говорит, в частности, то, что Дональдсон на самом деле не использовал сами уравнения Янга-Миллса - он сначал возмущал их. Грубо говоря, на многообразии есть каноническая функция - функционал Янга-Миллса, но работать с ней нельзя, потому что она не общего положения. (Есть трюк Уленбек, который позволяет получить функцию общего положения в терминах исходного многообразия, но это все равно надо сделать.)
Хотелось бы иметь цепочку конструкций: четырехмерное многообразия -> бесконечномерное многообразие с дополнительной структурой -> его "гомотопический тип" - не в обычном смысле, а основанный на этой дополнительной структуре.