Зачем нужны модельные категории
Jan. 14th, 2009 03:58 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
siyuvМодельные категории были введены Квилленом в конце 60-х и сразу же получили интересные применения: рациональная гомотопическая теория, когомологии Андре-Квиллена. Однако больше Квиллен к ним кажется не возвращался. Даже в большой работе по алгебраической К-теории, принесшей ему медаль Филдса, модельные категории не используются, хотя и напрашиваются (там в начале разрабатывается абстрактная гомотопическая теория для категорий и функторов -- соответствующая модельная категория была построена Томасоном).
Дальнейшая разработка идей связанных с модельными категориями перешла почти исключительно к школе Кана. Конечно можно найти и исключения, например Алекс Хеллер, который предлагал собственные подходы к абстрактной гомотопической теории еще до Квиллена, или Рик Жардин, который попытался еще в 81-м году применить методы гомотопической алгебры к алгебраической геометрии. Но безусловно, что на фоне общего спада активности в алгебраической топологии с середины 70-х по середину 80-х, эта область осталась на плаву в первую очередь благодаря Кану и его ученикам, некоторым из которых увлечение столь абстрактными идеями стоило карьеры.
В 79-80 годах появилась серия работ Двайера и Кана которая увенчалась следующим замечательным результатом: структура модельной категории несет в себе информацию о высших гомотопиях пространства отображений между двумя объектами. Другими словами, даже если данная модельная категория не имеет отношения к пространствам или симплициальным множествам (в частности не имеет оснащения над ними), все равно можно говорить о гомотопическом типе пространства отображений между объектами. Если же модельная категория симпициальна, то гомотопический тип пространства отображений полученного методом Двайера-Кана волшебным образом совпадает с пространством отображений имеющимся в структуре оснащенной модельной категории.
В конце 80-х начинается медленный подъем в алгебраической топологии. Начинается он, на мой взгляд, с доказательства гипотез Равенеля в стабильной гомотопической теории (Девинац-Хопкинс-Смит), но модельные категории не приобретают популярности, несмотря на то, что Жардину и Жойалю удалось (независимо) построить локальную модельную категорию для произвольного сайта и получить первые применения в алгебраической К-теории (Жардин). Позднее эта модельная категория сыграла важную роль в мотивной гомотопической теории.
Реабилитацию модельные категории получили только с появлением работы Мореля-Воеводского, где использовались не только как удобный формализм, но и для создания новых вычислительных инструментов. Надо сказать что к концу 90-х, когда появилась работа Мореля-Воеводского, школа Кана создала хорошо развитую теорию. Имелось два незазвисимых подхода к локализациям (Хиршхорна и Смита). Рукопись Хиршхорна была доступна в интернете на протяжении по-крайней мере 5 лет и служила очень хорошим подспорьем для начинающих (изданная по ней в 2003 коду книга P.S. Hirschhorn, Model categories and their localizations является наиболее полной на сегодняшний день коллекцией фактов о модельных категориях и часто цитируется). Вводная статья Двайера и Спалинского (W.G. Dwyer and J. Spalinski, Homotopy theories and model categories), а позднее книжка Хови (M. Hovey, Model Categories) тоже здорово способствовали популяризации. Морель и Воеводский использовали накопленную технику насколько это было возможно, но им пришлось также развивать кое-какие направления и собственными силами (например общих работ о стабилизации модельных категорий на тот момент не было). В тот же период появляется еще один долгожданный результат: замкнутая, симметричная, моноидальная модель для стабильной гомотопической теории, даже 3 разных модели; начинается массовый перенос результатов из теории колец на кольцевые спектры (то что Мэй назвал Brave new algebra).
В начале 2000-х начинается новый этап развития теории модельных категорий. Подключается много новых людей. Появляются как чисто технические результаты, расширяющие наш кругозор в этой области (например первые модельные категории не порожденные корасслоениями или результаты Даггера о порождении модельных категорий образующими и соотношениями D. Dugger, Combinatorial Model Categories Have Presentations), так и результаты направленные на приложения вне алгебраической топологии (например работа Айзаксена -- D. Isaksen про этальную гомотопическую теорию или работа Даггера и Шипли -- B. Shipley про К-теорию колец, независимо подтвердившая часть сложных результатов Нэемана).
Наконец можно перейти к вопросу о том для чего нужны модельные категории. На мой взгляд, основная задача модельных категорий это перенос результатов алгебраической топологии на другие области. Конкретнее, вычислительный аппарат накопленный в топологии хотелось бы научиться применять где-то еще. Именно в этом ключе написана работа Мореля-Воеводского. Распространение их успеха на другие области кажется очень привлекательным и перспективным занятием. По мнемоническому правилу, выведенному Марком Хови, модельная категория возникает там, где появляется слово "гомология". Слабыми эквивалентностями должны стать гомологические эквивалентности. А поскольку сегодня гомологические техники исключительно популярны, то и потенциальных областей приложения для модельных категорий должно быть достаточно.
Вопрос в том, каким именно образом переносить вычислительные методы из топологии куда-то еще? Как обобщить спектральную последовательность Серра, например, мне не известно, но хотелось бы рассказать об одном результате Боусфилда (G&T 2003) исключительной общности, который использует достаточно сложные технические средства, и остается из-за этого без должногого внимания за пределами области, хотя именно от него ожидаются результаты прикладного характера.
Технические детали изложить здесь не удасться, но в общих чертах Боусфилду удалось сделать следующее: для самой общей модельной категории (в смысле Квиллена) построена гомотопическая спектральная последовательность сходящаяся к гомотопическим группам пространства отображений между двумя объектами. Пространство отображений следует рассматривать в смысле Двайера и Кана. Можно добавить, что эта работа является обобщением гомотопической спектральной последовательности построенной Боусфилдом и Каном в начале 70-х, которая в свою очередь является нестабильным аналогом спектральной последовательности Адамса. Удивительной является необычайная общность работы --- никаких ограничений на модельную категорию. Дело теперь за малым -- найти приложения.
Так или иначе, но сегодня можно смело говорить, что модельная категория является вычислительным инструментом, а не только формальной структурой позволяющей определить гомотопическую категорию.
Дальнейшая разработка идей связанных с модельными категориями перешла почти исключительно к школе Кана. Конечно можно найти и исключения, например Алекс Хеллер, который предлагал собственные подходы к абстрактной гомотопической теории еще до Квиллена, или Рик Жардин, который попытался еще в 81-м году применить методы гомотопической алгебры к алгебраической геометрии. Но безусловно, что на фоне общего спада активности в алгебраической топологии с середины 70-х по середину 80-х, эта область осталась на плаву в первую очередь благодаря Кану и его ученикам, некоторым из которых увлечение столь абстрактными идеями стоило карьеры.
В 79-80 годах появилась серия работ Двайера и Кана которая увенчалась следующим замечательным результатом: структура модельной категории несет в себе информацию о высших гомотопиях пространства отображений между двумя объектами. Другими словами, даже если данная модельная категория не имеет отношения к пространствам или симплициальным множествам (в частности не имеет оснащения над ними), все равно можно говорить о гомотопическом типе пространства отображений между объектами. Если же модельная категория симпициальна, то гомотопический тип пространства отображений полученного методом Двайера-Кана волшебным образом совпадает с пространством отображений имеющимся в структуре оснащенной модельной категории.
В конце 80-х начинается медленный подъем в алгебраической топологии. Начинается он, на мой взгляд, с доказательства гипотез Равенеля в стабильной гомотопической теории (Девинац-Хопкинс-Смит), но модельные категории не приобретают популярности, несмотря на то, что Жардину и Жойалю удалось (независимо) построить локальную модельную категорию для произвольного сайта и получить первые применения в алгебраической К-теории (Жардин). Позднее эта модельная категория сыграла важную роль в мотивной гомотопической теории.
Реабилитацию модельные категории получили только с появлением работы Мореля-Воеводского, где использовались не только как удобный формализм, но и для создания новых вычислительных инструментов. Надо сказать что к концу 90-х, когда появилась работа Мореля-Воеводского, школа Кана создала хорошо развитую теорию. Имелось два незазвисимых подхода к локализациям (Хиршхорна и Смита). Рукопись Хиршхорна была доступна в интернете на протяжении по-крайней мере 5 лет и служила очень хорошим подспорьем для начинающих (изданная по ней в 2003 коду книга P.S. Hirschhorn, Model categories and their localizations является наиболее полной на сегодняшний день коллекцией фактов о модельных категориях и часто цитируется). Вводная статья Двайера и Спалинского (W.G. Dwyer and J. Spalinski, Homotopy theories and model categories), а позднее книжка Хови (M. Hovey, Model Categories) тоже здорово способствовали популяризации. Морель и Воеводский использовали накопленную технику насколько это было возможно, но им пришлось также развивать кое-какие направления и собственными силами (например общих работ о стабилизации модельных категорий на тот момент не было). В тот же период появляется еще один долгожданный результат: замкнутая, симметричная, моноидальная модель для стабильной гомотопической теории, даже 3 разных модели; начинается массовый перенос результатов из теории колец на кольцевые спектры (то что Мэй назвал Brave new algebra).
В начале 2000-х начинается новый этап развития теории модельных категорий. Подключается много новых людей. Появляются как чисто технические результаты, расширяющие наш кругозор в этой области (например первые модельные категории не порожденные корасслоениями или результаты Даггера о порождении модельных категорий образующими и соотношениями D. Dugger, Combinatorial Model Categories Have Presentations), так и результаты направленные на приложения вне алгебраической топологии (например работа Айзаксена -- D. Isaksen про этальную гомотопическую теорию или работа Даггера и Шипли -- B. Shipley про К-теорию колец, независимо подтвердившая часть сложных результатов Нэемана).
Наконец можно перейти к вопросу о том для чего нужны модельные категории. На мой взгляд, основная задача модельных категорий это перенос результатов алгебраической топологии на другие области. Конкретнее, вычислительный аппарат накопленный в топологии хотелось бы научиться применять где-то еще. Именно в этом ключе написана работа Мореля-Воеводского. Распространение их успеха на другие области кажется очень привлекательным и перспективным занятием. По мнемоническому правилу, выведенному Марком Хови, модельная категория возникает там, где появляется слово "гомология". Слабыми эквивалентностями должны стать гомологические эквивалентности. А поскольку сегодня гомологические техники исключительно популярны, то и потенциальных областей приложения для модельных категорий должно быть достаточно.
Вопрос в том, каким именно образом переносить вычислительные методы из топологии куда-то еще? Как обобщить спектральную последовательность Серра, например, мне не известно, но хотелось бы рассказать об одном результате Боусфилда (G&T 2003) исключительной общности, который использует достаточно сложные технические средства, и остается из-за этого без должногого внимания за пределами области, хотя именно от него ожидаются результаты прикладного характера.
Технические детали изложить здесь не удасться, но в общих чертах Боусфилду удалось сделать следующее: для самой общей модельной категории (в смысле Квиллена) построена гомотопическая спектральная последовательность сходящаяся к гомотопическим группам пространства отображений между двумя объектами. Пространство отображений следует рассматривать в смысле Двайера и Кана. Можно добавить, что эта работа является обобщением гомотопической спектральной последовательности построенной Боусфилдом и Каном в начале 70-х, которая в свою очередь является нестабильным аналогом спектральной последовательности Адамса. Удивительной является необычайная общность работы --- никаких ограничений на модельную категорию. Дело теперь за малым -- найти приложения.
Так или иначе, но сегодня можно смело говорить, что модельная категория является вычислительным инструментом, а не только формальной структурой позволяющей определить гомотопическую категорию.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-01-17 11:06 pm (UTC)"Сильные работы, имевшие важные приложения."
Область, в которой есть такие результаты, наверное, не очень-то в упадке.
"Они не стали результатом работы групп математиков..."
В этом, на мой взляд, нет ничего дурного.
...и не создали новых направлений, которые привлекли бы свежие силы."
Может, проблема была с отсутствием "свежих сил", или с тем, что свежие силы были перетянуты в другие области? (Я думаю, что был и недостаток свежих сил, и перетягивание их в другие области - см. мою беседу с Летающим Медведем.)
"...если пытаться оценивать состояние области по работам, то имеет смысл смотреть на активные направления, приведшие к интересным результатам, а не на отдельно стоящие сильные работы."
Наполовину противоположно моему подходу. Бывают индивидуальные достижения, бывают коллективные. Из двух главных достижений математики 20-го века одно - индивидуальное (алгебраическая геометрия Гротендика), другое - коллективное (условно "гомологическая алгебра", куда я включаю и теорию гомотопий).
no subject
Date: 2009-01-20 06:27 am (UTC)-- куда-то же они должны были деться.
Дело не в том коллективное достижение или личное, а в том какие последствия оно имело. Работа Гротендика основала целую область в науке. С 75 по 85 не возникло ни одного нового направления в алгебраической топологии и не было впечатляющих приложений к другим областям. Это привело к снижению популярности, последствия которого сказываются (на социальном уровне) до сих пор.
Вы слишком широко трактуете предмет гомологической алгебры, но это скорее тема нашей предыдущей беседы.
no subject
Date: 2009-01-20 06:53 am (UTC)Раз уж Вы говорите, уже не первый раз, про социальные аспекты. Я думаю, что они тут сыграли очень большую роль. Например, в СССР Новиков ликвидировал к концу 70-х почти всю топологию, и алгебраическую, и дифференциальную. Всех своих лучших учеников перетащил сначала в интегрируемые системы, а потом просто во всякие уравнения. На Западе Сулливан бросил топологию в конце 70-х. У него учеников-топологов два или три, не особенно сильных. Ну а после Дональдсона все ринулись учить физические уравнения.
Мне бы хотелось, чтобы эти уравнения были заменены на какой-то вариант алгебраической топологии. Скажем, бесконечномерные многообразия, на которых все это происходит, должны иметь дополнительную структуру, позволяющую строить "теорию гомотопий" - если угодно, они должны образовывать другую модельную категорию, отличную от обычной.
В расширенном смысле я включаю в гомологическую алгебру и алгебраическую топологию, и алгебраическую К-теорию. В этих случаях я ставлю кавычки. Но и собственно гомологическая алгебра - коллективное достижение.
no subject
Date: 2009-01-23 02:32 pm (UTC)Звучит интригующе, но пока мало понятно. Если возможно, то поясните пожалуйста поподробнее свою идею.
no subject
Date: 2009-01-24 01:35 am (UTC)Мэй и с Каном что-то не поделил! (Уже шла речь о Бордмане.) Что же это за кошмар такой?
Если бы я мог как следует сформулировать свою идею, то я бы, наверное, ее реализовал и работал бы в Гарварде. Насколько я себе представляю, в теории Дональдсона-Флоера-Сайберга-Виттена-... рассматриваются, в первом приближении, бесконечномерные многообразия, построенные по данному четырехмерному. Сами по себе они интересных инвариантов не имеют, но с исходного конечномерного многообразия приходит дополнительная структура, и изучаются когомологические инварианты этой структуры. Проблема в том, что никто не сформулировал явно, что это за структура, и все работают с объектами, строящимися в терминах исходного четырехмерного многообразия. В пользу этого говорит, в частности, то, что Дональдсон на самом деле не использовал сами уравнения Янга-Миллса - он сначал возмущал их. Грубо говоря, на многообразии есть каноническая функция - функционал Янга-Миллса, но работать с ней нельзя, потому что она не общего положения. (Есть трюк Уленбек, который позволяет получить функцию общего положения в терминах исходного многообразия, но это все равно надо сделать.)
Хотелось бы иметь цепочку конструкций: четырехмерное многообразия -> бесконечномерное многообразие с дополнительной структурой -> его "гомотопический тип" - не в обычном смысле, а основанный на этой дополнительной структуре.