siyuv | Модельная категория Строма

Entry tags:

math

Модельная категория Строма

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Threaded | Top-Level Comments Only

Мы по-разному понимаем вопрос "Как оно все устроено на самом деле?"

С моей точки зрения, то, что что-то можно делать иначе, не имеет к нему никакого отношения.

Симплексы появились естественно в теории гомологий. То, что произведение кубов является кубом, известно давно, и даже использовалось, но то, что за почти 60 лет это не привело к распространению кубов, на мой взгляд, кое-то о них говорит.

Вы не знаете алгебраических геометров, не работающих со схемами -- извините за задержку с ответом: коллега, который говорил мне об этом не проверял почту во время праздников. Сейчас он вернулся и предложил в качестве примера книжку Гриффитса-Харриса, в которой схемам посвящена ровно одна страница. Отсюда я делаю вывод, что люди занимающиеся комплексно-аналитической геометрией легко могут обойтись без схем.

Не надо углубляться в абстракции, но Вы в них углубились -- это противоречие между тем чему меня учили и моим карьерным путем, а не в моей аргументации. Я готов его обсуждать, но вряд ли Вам это будет интересно.

Вы придаете слишком большое значение Research Statemen -- спасибо, учту на будущее.

Что Вы понимаете под классической теорией, стало совсем непонятным -- классический этап развития гомотопической топологии это все работы изучающие пространства с точностью до (сильной) гомотопической эквивалентности (Пуанкаре, Александров, Хопф, Понтрягин,...). Выбор расслоений вторичен и до некоторой степени произволен. Классический этап в основном завершился с появлением работ Вайтхеда, подкрепленными весьма убедительными вычислениями Серра. Изменился сам предмет изучения алгебраической топологии, т.е. стали изучать пространства с точностью до слабой эквивалентности. Разумеется классический этап не мог закончиться сразу, в конце-концов оставались люди, которые не смогли/не захотели выучить спектральные последовательности, и не все они подались в дифуры, как Понтрягин. Наверное именно к этому течению следует отнести работу Гуревича, хотя, повторюсь, расслоения можно брать и по Гуревичу (именно об этом работа Коула). Из значимых работ посвященных сильным эквивалентностям вспоминается только теорема Милнора (упоминается в Фоменко-Фуксе без доказательства) о том, что пространство отображений двух полиэдров гомотопически эквивалентно CW-комплексу. Приведенный Вами пример из В. Пуппе тоже вроде бы в этом ключе.

За ссылку спасибо -- очень интересно.

Да, Гоерс-Жардин не годиться в качестве учебника, я лично им пользуюсь только как справочником, хотя один мой соавтор утверждает, что по нему учился.

Я бы предпочел, чтобы теория категорий излагалась по ходу дела - как это было у Кана -- да такого вроде бы нет, наверное изложение слишком громоздкое получиться.

...названо "observation" безо всяких ссылок, оказалось теоремой, которую МакЛейн и другие учебники доказывают на паре страниц. -- я давно убедился, что теорию категорий лучше изучать по Келли, а не по МакЛейну, это утверждение там доказывается в одну строчку, действительно тянет на "наблюдение".

Увы, на мой вкус нет ничего. -- Ну что же, если позволите, то дам совет. Учитывая то, что модельные категории это не сложный и обще-принятый на сегодняшний день язык, их тоже неплохо выучить человеку интересующемуся симплициальной гомотопией (Гоерс-Жардин, кстати тоже посвящает им много внимания). Я бы порекомендовал для начала обзорную статью Двайера и Спалинского. Там почти ничего нет о симплициальных множествах, но если понимать их определение (предпучки на конечных ординалах) и устройство модельной категории (слабые эквивалентности можно определить через реализации, корасслоения = вложения), то в 99% случаев знание того что симплициальные множества имеют структуру модельной категории вполне достаточно для эффективной работы с ними. В оставшемся 1% случаев, в основном когда нужно строить симплициальные гомотопии, нужно прочитать соответсвующую главу из Хови, (там гораздо меньше теории категорий, чем в Гоерс-Жардине, не смотря на название), ну а если не хватит, то можно уже открыть Гоерса-Жардина, там больше материала, но читать избирательно.

...как можно добыть неопубликованный препринт Квиллена (опубликовано только резюме) по когомологиям Андре-Квиллена? -- Я не знаю точно о каком препринте Вы говорите, но работа Квиллена по когомологиям Андре-Квиллена опубликована.

Хорошо, тогда эту ветку можно считать закрытой.

Комплексно-аналитическая геометрия - это несколько другой предмет, нежели алгебраическая геометрия. И там тоже есть свой аналог схем - аналитические пространства, но это слишком трудный предмет для нового поколения.

Если даже Вы не следуете тому, чему Вас некие люди учили, то с какой стати к этому учению прислушиваться тем, кого этому не учили?

Пуанкаре не изучал пространств с точностью до гомотопической эквивалентности. Я не уверен, что у него было это понятие. И Александров, Хопф, Понтрягин - тоже. Вообще, мы тут сильно расходимся в том, что является предметом той или иной науки. Несколько философский вопрос. Более-менее никто не изучал и не изучает произвольные пространства с точностью до гомотопической эквивалентности. Изучают интересные вопросы про пространства, обычно довольно простые. Другие пространства появляются по ходу дела, вроде пространств отображений (работа Милнора очень простая - он просто сделал некую полезную работу). Для работы с этими другими пространствами нужен некий framework, и не всегда удобно проверять, что каждое возникающее пространство гомотопически эквивалентно CW-комплексу.

Спор у нас довольно беспредметный. Вы занимаетесь неким предметом, там не нужны никакие "общие" пространства, и Вас больше интересует то, что симплициальные множества можно заменять на другие категории, нежели то, что есть какие-то результаты применимы к довольно обширным классам пространств. А меня больше занимает в данный момент то, что теорию гомотопий можно построить для широкого класса пространств. Я вас не агитирую бросать Ваши занятия, и, наверное, не стоит убеждать меня в том, что интересная мне тема неинтересна.

Кстати, Гуревич не относится к числу тех, кто не смог выучить спектральные последовательности.

За советы спасибо.

Келли - это Basic concepts of enriched category theory? Вроде других книг нет. Вы не могли бы дать точную ссылку?

Эта работа Квиллена - то, что я назвал резюме. В списке литературы к ней есть мимегорафированные заметки в MIT, с почти таким же названием (нет "ко").

Симплексы появились естественно в теории гомологий -- Вы слишком часто используете слово "естественно". Поскольку в теории категорий оно имеет строгий смысл, мне все время хочется потребовать у Вас доказательство. Кубы тоже появились в теории гомологий, ну и что? Как определить кто более естественен? Ответ на вопрос: "Чем симплексы лучше?", получен -- ничем (кроме леммы Мура, с которой вопрос пока открыт). Все кроме комбинаториков (или комбинаторов?) вроде бы удовлетворены. Видимо Вы занимаетесь комбинаторикой. Учитывая Вашу эрудированность в некоторых областях, скорее алгебраической комбинаторикой. Прошу не считать это попыткой вскрыть Вашу real identity.

Келли - это Basic concepts of enriched category theory? -- да, дополнительное преимущество, что ее перенабрали в ТеХе и выложили в свободный доступ. Книжка слегка через чур формальная, но полезная.

Эта работа Квиллена - то, что я назвал резюме -- ну не знаю, вроде бы там все доказано, но я очень давно читал. Заметки из MIT не встречал. Нужно спросить старшее поколение.

Нет, мое употребление слова "естественный" имеет слабое отношение к его специфическому категорному смыслу. Пересечение, конечно есть. Я использую его в обычном разговорном смысле.

Кубы появились в теории гомологии - и исчезли. Для меня это свидетельство того, что они неестественны. То, что и симплексы, и кубы, и еще что-то удовлетворяют некоторому набору аксиом, никак не может означать, что симплексы "ничем не лучше". Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать. Есть масса конструкций, которые ведут к каноническому разбиению на симплексы полезных пространств. И я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба.

Любопытно, что меня уже не в первый раз принимают за специалиста по алгебраической комбинаторике. Правда, раньше принимали за вполне конкретного.

Да, я ее когда-то оттуда скачал. А Вы не могли бы дать ссылку по поводу этого "наблюдения"?

Хотя я не не пытался приложить серьезные усилия, у меня осталось впечатление, что в этой статье Квиллена не доказано ничего. Сравнение по объему с публикациями Андре эту мысль подтверждает. Возможно, если знать "все остальное" (например, прочитать книги Андре), то восстановить доказательства можно, но это не то, чего хотелось бы.

Кубы появились в теории гомологии - и исчезли -- до конца никогда не исчезали; Рони Браун даже как-то обиделся на Жардина за то, что тот высказался в этом духе в своем препринте. Но даже если и исчезли, вон теперь снова появились. Это о чем говорит? Миша Поляк как-то агитировал за кубические комплексы, через которые удобно определять инварианты конечного типа. Одним из аргументов был следующий. Помните старые советские пакеты из-под молока? Тетраэдральные? Так вот, в конце концов их заменили на прямоугольные параллелепипеды, так что кубы всегда побеждают.

Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать -- может быть, но этот эффект не измерить. На одном семинаре по комбинаторике меня позабавило, что докладчик все время говорил про джойны симплициальных комплексов, но ни разу не упомянул про их произведение. В какой-то момент я спросил почему бы не воспользоваться произведением? На что получил ответ, что оно не определено. Я попытался объяснить, что можно перемножить пространства, а потом взять какое-нибудь разбиение на симплексы, и что с джойном по сути происходит тоже самое, но тут меня спросили что такое джойн топологических пространств... Вобщем стало понятно, что у нас отсутствует достаточная общая база для конструктивного обсуждения. Не от излишнего ли увлечения симплексами это произошло?

...я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба -- скорее всего такая конструкция Вам пока была не нужна. Не думаю что возникли бы сложности с ее построением, понадобись она кому-нибудь. Например аналог сингулярного функтора в кубическом случае имеется.

...с какой стати к этому учению прислушиваться тем, кого этому не учили? -- у Вас кажется сложилось впечатление, что я критикую абстрактную математику. Это было бы странно, учитывая мою специализацию. Я всего лишь высказал мысль, что предметом изучения гомотопической топологии являются пространства с точностью до слабых эквивалентностей. Различные абстрактные понятия для этого весьма полезны. Более того, они часто представляют интерес сами по себе, но вряд ли можно говорить, что они подменяют собой основной предмет, поскольку не вся наука переключается на их изучение (например эквивариантная топология). Бывает и так, что какая-то абстракция срастается с абстракциями из других областей математики и тогда можно говорить о новой науке (например К-теория). Стабильная гомотопическая теория пока где-то по середине.

Я не уверен, что у него было это понятие -- понятия групп (ко)гомологий у него тоже не было. Это не помешало ему доказать теорему двойственности. Александров, Хопф, Понтрягин - тоже -- Ну а что же они изучали? Другого предмета для изучения у них вроде бы не было. Конечно они понимали бесперспективность изучения всех гомотопических типов и всячески себя ограничивали (многообразиями, трианглированными пространствами, и т.д.). Это и привело в конце концов к революции Вайтхеда-Серра.

Изучают интересные вопросы про пространства, обычно довольно простые -- Разумеется, каждая конкретная работа изучает какой-то интересный вопрос, но про целую область математики так говорить, мне кажется, неправомерно. Ну а кончатся интересные вопросы, это означает конец области? Мне кажется нет. Предметом изучения должно быть что-то недостижимое (решение всех диафантовых уравнений или классификация всех гомотопических типов). Если предмет изучения себя не исчерпал, то со временем могут появиться новые подходы, новые идеи. Адамс 66-м году сказал на конгрессе в Москве, что гомотопическая топология выполнила поставленные перед ней задачи (мне не удалось найти ссылку, цитирую с чужих слов). На тот момент кончились интересные вопросы. И это при том, что Адамс считал, что топология должна заниматься пространствами, а симплициальные множества через чур абстрактны. Прошло 40 лет уже, а область жива. Появились новые идеи, новые применения...

Спор у нас довольно беспредметный -- он возник из того, что Вы меня упрекнули в чрезмерной узости взглядов. Я всего лишь пытаюсь оправдаться.

...наверное, не стоит убеждать меня в том, что интересная мне тема неинтересна -- вот уж и в мыслях не было, тем более, что Вы не рассказываете чем Вы занимаетесь.

Гуревич не относится к числу тех, кто не смог выучить спектральные последовательности -- я этого не утверждал.

Вряд ли Вы считаете аргумент с молочными пакетами серьезным.

"...может быть, но этот эффект не измерить."

Очень даже можно. Сколько работ используют симплициальные множества и "симплициальные комплексы" (в классическом смысле), и сколько - кубы?

Если кто-то не знает, как триангулируется произведение двух симплексов - это значит только то, что он плохо учился.

Про сингулярные кубические гомологии я знаю. Я не знаю естественно возникающего пространства с естественным разбиением на кубы.

" Я всего лишь высказал мысль, что предметом изучения гомотопической топологии являются пространства с точностью до слабых эквивалентностей."

Я утверждаю, что этого никогда не было. Я не знаю ни одной нетехнической (не вспомогательной) значительной работы о "пространства с точностью до слабых эквивалентностей". Может, у Вас есть пример?

"Ну а что же они изучали?"

Вряд здесь есть место для очерка по истории топологии. Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например.

Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром.

" Ну а кончатся интересные вопросы, это означает конец области?"

Да, конечно. Это совсем не оригинальная точка зрения.

Адамс сказал, что "most of the basic (теории гомoтопий) principles are known". Далее он говорит о том, что "when you contemplate some of the tabulated data, orderly patterns are hard to find". Действительно, топологи почти не способны находить закономерности в числовых данных - в противоположность теоретико-числовикам, например. Может, их там и нет, а может, они не видят - не знаю.

К словам Адамса в 1966-м надо относиться с большой осторожностью. В 1965-м он перенес "the first attack of a psychiatric illness, as a result of which he was on sick leave for some months." Уровень его работ никогда больше не вернулся к тому, что был до болезни. Будучи бесспорным лидером теории гомотопий на тот момент, он мог принять отсутствие идей у себя за их отсутствие вообще.

"Разумеется классический этап не мог закончиться сразу, в конце-концов оставались люди, которые не смогли/не захотели выучить спектральные последовательности, и не все они подались в дифуры, как Понтрягин. Наверное именно к этому течению следует отнести работу Гуревича..."

Трудно понять эту фразу иначе, как то, что Гуревич относится к тем, кто не смог или не захотел изучить спектральные последовательности.

""Спор у нас довольно беспредметный" -- он возник из того, что Вы меня упрекнули в чрезмерной узости взглядов. Я всего лишь пытаюсь оправдаться."

Увы, не получается.

Утверждение 4.83 на странице 77 по перепечатанному изданию. Вас интересует импликация (ii)==>(i), поскольку всякий функтор является Lan-ом самого себя по категории, на которой он определен, а она в Вашем случае маленькая.

Конечно нужно выучить взвешенные (ко)пределы (Келли использует устаревшее "индексированные"), чтобы разобраться в этом доказательстве, но тогда оно становится более концептуальным, а в неоснащенном случае взвешенные пределы переводятся в конические. Можно в этом доказательстве заменить взвешенные пределы на коэнды, но не думаю, что оно станет от этого понятнее.

Объем статьи Квиллена обманчив, так как она опирается на его книжку про модельные категории. Имеется современный обзор по лекциям Гоерсса, где он все доказывает на семи страницах, после введения в симплициальные методы.

Нет, уж лучше МакЛейн. С МакЛейном была одна трудность - найти нужную теорему (ссылок-то нет). После чего книжку можно читать с этого места, и все понятно. И ничего учить не нужно. У Келли я не могу даже начать читать в этом месте.

На статью Квиллена я взглянул. Все-таки там ничего всереьз не доказывается.

За ссылку на Goerss'а спасибо. Но если детальное (более детальное, чем в той статье) Квиллена существует, я бы хотел на него посмотреть.

Вряд ли Вы считаете аргумент с молочными пакетами серьезным -- нет, но в статье по ссылке приведены более серьезные аргументы в пользу кубических комплексов.

Сколько работ используют симплициальные множества и "симплициальные комплексы" (в классическом смысле), и сколько - кубы? -- никто и не спорит с тем что симплексы на сегодняшний день гораздо более популярны, но чтобы показать, что они чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще, нужно представить какой-то метод/принцип/урверждение верное/применимое для симплексов и неприменимое к чему бы то ни было еще. У леммы Мура есть потенциал стать таким утверждением.

Я не знаю естественно возникающего пространства с естественным разбиением на кубы - я что-то перестал понимать о чем вы говорите. Приведите пожалуйста пример "естественного" разбиения на симплексы какого-нибудь пространства.

это значит только то, что он плохо учился - нет, области настолько далеко разошлись, что современные комбинаторики часто вовсе не знают алгебраической топологии, а современные топологи понятия не имеют о классических симплициальных комплексах, равно как и об операциях над ними. Мало кто из топологов знает, например, что такое алгебраический сдвиг.

А что такое алгебраический сдвиг?

В статье по ссылке никаких серьезых аргументов нет. Авторы рассматривают ситуацию, в которой структура куба {+,-} присутствует с самого начала. Триангулировать этот куб, действительно, незачем.

"чтобы показать, что они чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще, нужно представить какой-то метод/принцип/урверждение верное/применимое для симплексов и неприменимое к чему бы то ни было еще."

Нет. Burden of proof на другой стороне. Имеется полезная и удобная теория, с массой разнообразных приложений. Если некто утверждает, что другая теория лучше, он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов.

"Приведите пожалуйста пример "естественного" разбиения на симплексы какого-нибудь пространства."

Билдинги Титса, например. Нерв любой категории является симплициальным множеством, в частности, BG = K(G,1), где G - дискретная группа.

" нет, области настолько далеко разошлись"

Какие области далеко разошлись? Комбинаторика и топология? Они раньше совсем не взаимодействовали. И речь идет об элементарном факте.

Мы возрващаемся к проблеме, о которой уже шла речь. Доступ к теории симплициальных множеств сильно затруднен отсутствием доступных для чтения изложений, и черезмерной абстрактностью современных изложений. Черезмерной не в том смысле, что она кому-то трудна, а в том, что она неадекватна предмету. Ваша агитация за замену симплексов "почти чем угодно" это прекрасно иллюстрирует.

Может, у Вас есть пример? -- да в общем-то любая работа по гомотопической топологии. Возьмите хотя бы инвариант Хопфа = 1. В гомотопической категории рассматриваются отображения из S^{2n-1} в S^n. Им ставятся в соответствие числа (инвариант Хопфа). Спрашивается: для каких n инвариант Хопфа может быть равен 1. Ответ: 2, 4 и 8.

Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например -- я Вас попросил сформулировать что является предметом изучения некой области, а Вы мне в ответ предлагаете почитать про историю ее развития. Это конечно интересно, но не тоже самое. Я просто не могу уловить в чем наше расхождение. Хотя похоже оно весьма фундаментально.

Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром. -- Сначала я этого Уайтхеда назвал старшим -- Вы возразили, потом я назвал его старым -- Вы промолчали. Я перестал его как-то определять, решив что Вы уже поняли о ком идет речь. Я их не объединяю, а обозначаю переходный этап в развитии топологии. Их работы появились на рубеже 49-50 годов и обозначили революцию в области. Уайтхед ввел новый предмет изучения, а Серр убедительно показал, что этот предмет гораздо более интересный, чем тот что рассматривался до этого.

Это совсем не оригинальная точка зрения -- я догадываюсь, но на мой взгляд она часто бывает ошибочной. Вот история про Атиа, рассказанная как-то на лекции МакФерсоном: в какой-то момент Атиа всем говорил, что теория узлов это пройденный этап, изучать там больше нечего. Но через 10 лет, когда нашлись применения в физике, появились новые идеи тот же Атиа стал всем говорить что нужно заниматься теорией узлов. Когда его спросили: как же так, ведь 10 лет назад Вы говорили ровно противоположное. Он нашелся что ответить: "Я был прав тогда, прав и сейчас."

Примерно то же произошло/происходит с гомотопической теорией.

most of the basic (теории гомoтопий) principles are known -- А откуда вы цитируете, можно ссылку, пожалуйста? Я думал, что это его речь на конгрессе. Он это где-то написал?

К словам Адамса в 1966-м надо относиться с большой осторожностью -- про его болезнь я не знал. Будучи неправым по срокам (он не предвидел блестящих работ Квиллена, Сулливана, Сигала в начале 70х), Адамс оказался прав глобально. Это не секрет, что с середины 70х до середины 80х вся область находилась в упадке. Работ филдсовского уровня не было; статьи в Annals если и появлялись, то как правило решали задачи поставленные в начале 70х методами разработанными в начале 70х (нестабильный аналог спектральной последовательности Адамса).

Но предмет изучения гомотопической тополигии никуда не исчез (также как и теории узлов) и продолжал вызывать интерес. В конце 80х начался подъем и сегодня у нас практически ренессанс. Новые идеи, новые приложения... Появились новые интересные задачи.

Опять зашкалил за длину комента...

Трудно понять эту фразу иначе, как то, что Гуревич относится к тем, кто не смог или не захотел изучить спектральные последовательности -- речь шла про конкретную работу Гуревича. Саму работу я не читал, но вот Спаниер пишет в реферате:

...A fiber space is regular if and only if it satisfies the covering homotopy condition with the covering homotopy constant when the base homotopy is constant. It is shown that every fiber space over a metric $B$ is regular.

The triple $(E,B,p)$ is called a local fiber space if for every $b\in B$ there exists a neighborhood $U$ of $b$ such that the triple ($p^{-1}(U)$, $U$, $p|p^{-1}(U)$) is a fiber space. The main theorem asserts that a (regular) local fiber space over a paracompact space $B$ is a (regular) fiber space in the large. It follows from this that a local fiber space satisfies the covering homotopy condition for maps of paracompact spaces...

Очевидно, что автора очень интересуют тонкости связанные с теоретико-множественной топологией, поэтому конкретно эту работу следует отнести именно к "классическим". У меня не было цели как либо принизить заслуги Гуревича, тем более, что именно он ввел понятие гомотопических групп, которое и легло в основу определения слабых эквивалентностей.

Увы, не получается. -- ну тогда я, пожалуй, прекращу оправдываться, смешно это как-то. Да и не сам я дошел до этой нехитрой мысли. Вот и Постников меня поддерживает (сделайте поиск по странице на фразу "предмет так называемой гомотопической топологии"), а уж его-то вряд ли можно упрекнуть в узости взглядов (Новиков где-то писал, что именно он положил начало на мех-мате занятиям по новой датировке истории).

Ой, я на эту тему прослушал ровно один доклад (вот по этой статье). Имеется также обзорная статья основателя области.

sowa бы наверняка лучше рассказал, но тогда он засветится с головой.

С точки зрения топологии это некий оператор на симплициальных комплексах, всегда выдающий букет сфер (или даже окружностей, не помню точно) на выходе. Интересно что он "идемпотентен", т.е. повторное применение ничего не меняет. Этим он напоминает многие важные конструкции в топологии под общим названием локализации (например сечение Постникова). Существенное отличие: никакой функториальности. Я тогда пытался придумать как бы вписать эту конструкцию в общую картину, но ничего не надумал. Сейчас, правда, появились примеры нефункториальных локализаций. Наверное стоит снова взглянуть на алгебраический сдвиг.

Если некто утверждает, что другая теория лучше... -- для ясности: я этого не утверждал, наоборот выше в этой ветке выражал уверенность, что технических преимуществ кубов не достаточно чтобы перетянуть чашу весов.

...он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов. -- понятно, а как показать что кубы не хуже симплексов?

Билдинги Титса -- это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу.

Нерв любой категории является симплициальным множеством -- кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина).

Комбинаторика и топология? Они раньше совсем не взаимодействовали. -- ни раньше, не сегодня особого взаимодействия нет. Речь идет о том, что комбинаторика заинтересовалась симплициальными комплексами, в то время как топология от них отказалась, перейдя на смплициальные множества. Науки развиваются в разных направлениях и понимать друг друга все сложнее и сложнее.

И речь идет об элементарном факте. -- этот факт элементарен когда нужно триангулировать произведение топологических симплексов, а если нужно определить произведение симплициальных комплексов, то встает вопрос о выборе "естественной" триангуляции. Я не знаю хорошего решения. А Вы? Для джойна комплексов такая триангуляция имеется (объединение симплексов). С точки зрения тополога в ней нет ничего естественного, но простота определения подкупает.

Ваша агитация за замену симплексов "почти чем угодно" -- неужели Вы настолько превратно меня поняли, или намеренно иронизируете?

Спасибо!

Заглянула в обзорную статью -- что-то это не очень интересно, не возникает желания знакомиться...

А что такое k-set? Они там появляются почти в самом начале, без определения.

Работа Гуревича доступна онлайн, ничего не стоит ее посмотреть. Равно как ничего не стоит посмотреть список работ Гуревича, и убедиться в том, что у него есть несколько работ о спектральных последовательностях.

Постников Вас не поддерживает. Это обычный и почти неизбежный педагогический прием. Студент или читатель поначалу редко готов к объяснению подлинной мотивации предмета, и ему говорят некую полуправду, вроде того, что топология изучает топологические пространства, поскольку у него еще нет кругозора для понимания содержательных объяснений. А когда этот кругозор появляется, то объяснения обычно уже не нужны. В результате они попадают разве что в обзоры и исторические книги.

Неужели Вы не читали довольно язвительные замечания П. Фрейда по поводу подобных объяснений? В частности, согласно Фрейду, категории не являются предметом теории категорий.

Threaded | Top-Level Comments Only

Page 2 of 5

Модельная категория Строма

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject