Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[sowa.livejournal.com]

" Я всего лишь высказал мысль, что предметом изучения гомотопической топологии являются пространства с точностью до слабых эквивалентностей."

Я утверждаю, что этого никогда не было. Я не знаю ни одной нетехнической (не вспомогательной) значительной работы о "пространства с точностью до слабых эквивалентностей". Может, у Вас есть пример?

"Ну а что же они изучали?"

Вряд здесь есть место для очерка по истории топологии. Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например.

Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром.

" Ну а кончатся интересные вопросы, это означает конец области?"

Да, конечно. Это совсем не оригинальная точка зрения.

Адамс сказал, что "most of the basic (теории гомoтопий) principles are known". Далее он говорит о том, что "when you contemplate some of the tabulated data, orderly patterns are hard to find". Действительно, топологи почти не способны находить закономерности в числовых данных - в противоположность теоретико-числовикам, например. Может, их там и нет, а может, они не видят - не знаю.

К словам Адамса в 1966-м надо относиться с большой осторожностью. В 1965-м он перенес "the first attack of a psychiatric illness, as a result of which he was on sick leave for some months." Уровень его работ никогда больше не вернулся к тому, что был до болезни. Будучи бесспорным лидером теории гомотопий на тот момент, он мог принять отсутствие идей у себя за их отсутствие вообще.

"Разумеется классический этап не мог закончиться сразу, в конце-концов оставались люди, которые не смогли/не захотели выучить спектральные последовательности, и не все они подались в дифуры, как Понтрягин. Наверное именно к этому течению следует отнести работу Гуревича..."

Трудно понять эту фразу иначе, как то, что Гуревич относится к тем, кто не смог или не захотел изучить спектральные последовательности.

""Спор у нас довольно беспредметный" -- он возник из того, что Вы меня упрекнули в чрезмерной узости взглядов. Я всего лишь пытаюсь оправдаться."

Увы, не получается.

[siyuv.livejournal.com]

Может, у Вас есть пример? -- да в общем-то любая работа по гомотопической топологии. Возьмите хотя бы инвариант Хопфа = 1. В гомотопической категории рассматриваются отображения из S^{2n-1} в S^n. Им ставятся в соответствие числа (инвариант Хопфа). Спрашивается: для каких n инвариант Хопфа может быть равен 1. Ответ: 2, 4 и 8.

Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например -- я Вас попросил сформулировать что является предметом изучения некой области, а Вы мне в ответ предлагаете почитать про историю ее развития. Это конечно интересно, но не тоже самое. Я просто не могу уловить в чем наше расхождение. Хотя похоже оно весьма фундаментально.

Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром. -- Сначала я этого Уайтхеда назвал старшим -- Вы возразили, потом я назвал его старым -- Вы промолчали. Я перестал его как-то определять, решив что Вы уже поняли о ком идет речь. Я их не объединяю, а обозначаю переходный этап в развитии топологии. Их работы появились на рубеже 49-50 годов и обозначили революцию в области. Уайтхед ввел новый предмет изучения, а Серр убедительно показал, что этот предмет гораздо более интересный, чем тот что рассматривался до этого.

Это совсем не оригинальная точка зрения -- я догадываюсь, но на мой взгляд она часто бывает ошибочной. Вот история про Атиа, рассказанная как-то на лекции МакФерсоном: в какой-то момент Атиа всем говорил, что теория узлов это пройденный этап, изучать там больше нечего. Но через 10 лет, когда нашлись применения в физике, появились новые идеи тот же Атиа стал всем говорить что нужно заниматься теорией узлов. Когда его спросили: как же так, ведь 10 лет назад Вы говорили ровно противоположное. Он нашелся что ответить: "Я был прав тогда, прав и сейчас."

Примерно то же произошло/происходит с гомотопической теорией.

most of the basic (теории гомoтопий) principles are known -- А откуда вы цитируете, можно ссылку, пожалуйста? Я думал, что это его речь на конгрессе. Он это где-то написал?

К словам Адамса в 1966-м надо относиться с большой осторожностью -- про его болезнь я не знал. Будучи неправым по срокам (он не предвидел блестящих работ Квиллена, Сулливана, Сигала в начале 70х), Адамс оказался прав глобально. Это не секрет, что с середины 70х до середины 80х вся область находилась в упадке. Работ филдсовского уровня не было; статьи в Annals если и появлялись, то как правило решали задачи поставленные в начале 70х методами разработанными в начале 70х (нестабильный аналог спектральной последовательности Адамса).

Но предмет изучения гомотопической тополигии никуда не исчез (также как и теории узлов) и продолжал вызывать интерес. В конце 80х начался подъем и сегодня у нас практически ренессанс. Новые идеи, новые приложения... Появились новые интересные задачи.

Опять зашкалил за длину комента...

[sowa.livejournal.com]

Проблема инварианта Хопфа - это не проблема о пространствах с точностью до слабых гомотопических эквивалентностей. Это проблема об отображниях сфер в сферы. Очень странно, что Вы привели ее в качестве примера, поскольку она в точно такой же степени является или не является проблемой о пространствах с точностью до сильной гомотопической эквивалентности.

Вы спросили, "Ну а что же они изучали?" На этот вопрос в двух словах не ответишь, и я отослал Вас к книге, в которой это подробно рассказано. Расхождение действительно фундаментально - Вы полагаете, что ответ на вопрос о том, чем занимается наука, можно дать на школьном уровне ("геометрия изучает плоские и пространственные фигуры"), я полагаю, что ответ можно дать только познакомившись с тем, чем реально занимались и занимаются в данной области.

Дж. Г. К. Уайтхед (видимо, речь идет о нем) не ввел никакого нового предмета изучения. Он ввел техническое средство, CW-комплексы. Серр ничего про этот "предмет" не доказал - он даже не цитирует ни одной работы Уайтхеда в своей диссертации.

Атийя действительно был прав оба раза. То, что два совершенно разных, почти не пересекающихся предмета можно назвать "теорией узлов", ничего не доказывает. Никаких приложений у классической теории узлов к физике нет. Стоит ли ей заниматься - спорный вопрос; некоторые всегда считали, что стоит, некоторые - что нет. Новый предмет, возникший в конце 80-х, является на самом деле не теорией узлов, а теорией специфических инвариантов узлов. Перспектива другая, задачи другие - это другой раздел математики.

"Примерно то же произошло/происходит с гомотопической теорией."

Возможно, теорией гомотопий просто стал называться другой предмет. Пока я не вижу, чем он интересен.

Я цитирoвал доклад Адамса на Конгрессе в Москве, а про болезнь - некролог в Bull. London Math. Soc.

" В конце 80х начался подъем и сегодня у нас практически ренессанс. Новые идеи, новые приложения... Появились новые интересные задачи."

Мне, как человеку постороннему, этого не видно. В тоже время мне видны многие достижения в областях, далеких от моих собственных интересов. Все, что Вы здесь упоминали - это, на мой взгляд, внутренние технические достижения. Специалистам, они, возможно, кажутся подъемом, но я отношусь к таким заявлениям скептически, повидав на своей жизни десятки предисловий, начинавшихся слова "Исследования в области Х переживают небывалый расцвет". Так что burden of proof снова на Вас: что за приложения, что за задачи?

[siyuv.livejournal.com]

Это проблема об отображниях сфер в сферы -- с точностью до гомотопии, заметьте, т.е. проблема формулируется в гомотопической категории.

...она в точно такой же степени является или не является проблемой о пространствах с точностью до сильной гомотопической эквивалентности -- конечно, это содержание теоремы того самого Уайтхеда. Различие достаточно тонкое и проявляется в технических вопросах, которые Вы вряд ли признаете интересными. Тем не менее задачи гомотопической топологии формулируются именно в гомотопической категории, а в какой из двух -- иногда это не важно, иногда критично.

Расхождение действительно фундаментально -- ответил ниже по ветке.

Он ввел техническое средство, CW-комплексы -- несколько больше: он ввел относительные CW-комплексы, которые вместе с ретрактами заменили классические расслоения (по Борсуку). Новый предмет изучения он тоже ввел -- это пространства с точностью до слабых эквивалентностей. CW-комплексы ему были нужны, чтобы показать, что новый предмет изучения совпадает со старым для хороших пространств.

Серр ввел почти одновременно с Уайтхедом новое понятие расслоения и создал на их основе новые вычислительные средства. Формально CW-комплексы для этого не нужны, и я вполне допускаю, что по началу он не видел связи. Но эти две работы обозначили появление новой framework в которой следует изучать гомотопическую топологию. Позднее она стала называться стандартной модельной категорией. И появление этих двух работ с разницей в год весьма символично.

То, что два совершенно разных, почти не пересекающихся предмета можно назвать "теорией узлов", ничего не доказывает -- предмет изучения у них один (узлы с точностью до изотопии). Да и трудно мне представить специалиста по инвариантам Васильева, никогда не слышавшего, скажем, про мю-инварианты Милнора.

...является на самом деле не теорией узлов, а теорией специфических инвариантов узлов -- то что вопрос о распознавании узлов при помощи инвариантов конечного типа считается важной открытой проблемой прямо подтверждает мою точку зрения.

Возможно, теорией гомотопий просто стал называться другой предмет -- Вы пытаетесь сыграть в туже игру, как с теорией узлов. Я этого не принимаю. Предмет остался тем же и продолжает изучать гомотопическую категорию пространств. Появились новые методы, новые приложения, но менять название причин нет.

Мне, как человеку постороннему, этого не видно -- посторонний человек может это оценить по появлениям статей в ведущих журналах, по назначениям специалистов в ведущие университеты. Вникать не обязательно, косвенных свидетельств достаточно.

Так что burden of proof снова на Вас: что за приложения, что за задачи? -- У меня не достаточно авторитета, чтобы высказываться за всю область, поэтому публично я этого делать не стану.

[sowa.livejournal.com]

Какая разница, какие гомотопические эквивалентности рассматриваются? Речь идет о сферах, самых обыкновенных, круглых. Отображения можно рассматривать только гладкие, или даже вещественно-аналитические. При чем тут слабые и сильные эквивалентности?

А работу Уайтхеда Вы смотрели?

"И появление этих двух работ с разницей в год весьма символично."

Ну и аргумент!

Далее у Вас получается порочный круг - Вы обосновываете свою точку зрения, заранее принимая ее. Если раздел математики определяется "предметом изучения" в Вашем смысле, то он им, разумеется, определяется. Содержания в такой аргументации - ноль.

"У меня не достаточно авторитета, чтобы высказываться за всю область, поэтому публично я этого делать не стану."

А вот это меня, честно, потрясло. Я ожидал, что Вы расскажете про интересные результаты, интересные задачи. А Вы говорите про какой-то авторитет. Выходит, Вы просто не знаете никаких интересных результатов и задач. Из чего мне придется заключить, что их действительно нет, а есть внутреннее развитие теории, интересное только специалистам. Не даром Вы все время говорите по то, что разные области математики расходятся.

[siyuv.livejournal.com]

Какая разница, какие гомотопические эквивалентности рассматриваются? -- в данном случае никакой.

Речь идет о сферах, самых обыкновенных, круглых. Отображения можно рассматривать только гладкие, или даже вещественно-аналитические. -- речь идет о классах отображений с точностью до гомотопии. Сферы могут быть любые -- хоть квадратные, хоть с рожками. Отображения тоже. Важен только их класс эквивалентности.

При чем тут слабые и сильные эквивалентности? -- простите, я забыл что Вы можете этого не знать. Квиллен доказал, что гомотопическая категория является локализацией (в смысле Габриеля-Зисмана) категогрии пространств по классу эквивалентностей. Так что от выбора эквивалентностей зависят множества гомотопических классов отображений между пространствами.

А работу Уайтхеда Вы смотрели? -- нет, а зачем? Она пересказана десятки раз.

Ну и аргумент! -- хороший аргумент. Он говорит о том, что революция в области на тот момент назрела. А вы как думаете?

Вы обосновываете свою точку зрения, заранее принимая ее -- обоснований для своей точки зрения по-поводу того, что является предметом гомотопической топологии, я привел более чем достаточно. Если Вам вдруг не хватило, то взгляните на первый пункт программы курса гомотопической топологии в НМУ.

Конечно можно сказать про любую область, что ее предмет это то чем она занимается. Но это масло масленое. Предмет это не то чем область занимается, а то что ее ограничивает. Как только выходит за рамки предмета, это уже приложение. Следуя же Вашей логике, все приложения следует включать непосредственно в предмет, а это очевидно не так.

В последнем комменте я пытался не обосновать этот нехитрый тезис, а объяснить каким образом Уайтхед ввел новый предмет изучения и какова связь с работой Серра.

А вот это меня, честно, потрясло -- неужели Вы не понимаете, что требуете от меня выставления оценок людям, которые сами регулярно ставят мне оценки и будут продолжать этим заниматься еще много лет по запросам различных Search/Promotion Committees. Ну ладно, если Вас так уж интересует мое мнение, то я попробую его изложить завтра, но только в самых общих чертах и только в моей узкой области.

Не даром Вы все время говорите по то, что разные области математики расходятся -- а вот это уже передергивание. Я сказал это единственный раз о двух конкретных областях (точнее даже под-областях) и выразил свое неудовольствие продолжающим углубляться разрывом.

[sowa.livejournal.com]

Мало ли чего Квиллен доказал спустя 35 лет после Хопфа. Проблема инварината Хопфа была поставлена как задача об отображениях сфер в сферы. Да и решена она была до работы Квиллена. Вы бы еще сказали, что Ньютон решал задачи про интеграл Лебега.

""А работу Уайтхеда Вы смотрели?" -- нет, а зачем? Она пересказана десятки раз."

Ну вот видите! Вы мне излагаете какие-то недавние представления, сложившиеся у весьма узкой группы людей. А я смотрел все упомянутые в этой дискуссии работы. Вы даете ссылку - я нахожу работу, скачиваю, смотрю, что там написано. И Серра, и Уайтхеда.

Аргумент никудышный. Работы Серра и Уайтхеда принадлежат различным традициям, и никакой революции вместе не образуют. Работа Серра действительно революционна, а работа Уайтхеда разрабатывает технические средства.

Что касается пунктов программы, то я Вам уже ответил на это поводу Постникова - в начале приходится давать такие "псевдо-объяснения", поскольку у студентов еще нет знаний, чтобы понять настоящие.

"Предмет это не то чем область занимается, а то что ее ограничивает."

Области не надо ограничивать. Они это плохо переносят. Ограниченная область - кандидат на мертвую науку.

Никаких оценок я от Вас не требую. Первый раз в жизни встречаю человека, который отказывается рассказать, что в его науке интересного.

[siyuv.livejournal.com]

Мало ли чего Квиллен доказал спустя 35 лет после Хопфа -- да нет, он это только обобщил и красиво записал. Я уверен, что и раньше было понятно, что слабые эквивалентности определяют гомотопическую категорию.

Вы бы еще сказали, что Ньютон решал задачи про интеграл Лебега -- не скажу, поскольку Ньютон не пользовался теорией меры, но если вы скажете, что Адамс не пользовался CW-комплексами, слабыми эквивалентностями и расслоениями Серра, то он наверное в гробу перевернется.

...сложившиеся у весьма узкой группы людей -- но ведь людей размышлявших именно над этими вопросами.

я смотрел все упомянутые в этой дискуссии работы -- видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы.

...никакой революции вместе не образуют -- мне казалось, что для того чтобы понять связь между этими работами достаточно понимать стандартную модельную категорию для пространств, а Вы вроде бы понимаете. Но оставим модельные категории. Возьмите любой современный учебник по алгебраической топологии. Хотя бы тот же Фоменко-Фукс. В нем рассказывается и про корасслоения Борсука, и про расслоения Гуревича, но со временем выясняется, что первые были нужны только для того, чтобы показать, что относительные CW-комплексы являются парами Борсука, а вторые нужны только для того, чтобы пояснить почему расслоения Серра вообще называются расслоениями. После этого остаются только CW-комплексы и расслоения Серра. Очевидно, что это не случайность.

Работа Серра действительно революционна, а работа Уайтхеда разрабатывает технические средства -- но работу Уайтхеда никак нельзя назвать недооцененной. Она была опубликована в хорошем журнале и вошла во все книжки по алгебраической топологии. Она в высшей степени концептуальна (говорю это не потому, что читал работу, а потому, что знаю какие концепции там представлены). О ее техничности судить не берусь, поскольку не читал, а в пересказе технику наверняка причесали.

Что касается пунктов программы, то я Вам уже ответил на это поводу Постникова -- по-поводу Постникова Вы сослались на тяжелую задачу написания предисловия, хотя Постников писал не предисловие, а ознакомительную статью, целью которой ставилось объяснить чем занимаются различные разделы топологии. Но допустим он прибег к такому приему вынуждено. Этого никак нельзя сказать про лектора, который выносит отдельным пунктом программы "Предмет гомотопической топологии". Приходиться предположить, что то о чем он там собирается рассказывать, он и в самом деле считает предметом этой науки.

Области не надо ограничивать -- однако очевидно, что на практике это делается, хотя бы для того, чтобы отличать одну область от другой.

Ограниченная область - кандидат на мертвую науку -- вот это меня удивило. Вообще-то всему когда-нибудь приходит конец. Все живущие кандидаты в покойники. Математические дисциплины не исключение. Если предмет себя исчерпал, то разумеется область умирает.

Первый раз в жизни встречаю человека, который отказывается рассказать, что в его науке интересного. -- Вы правы, я устыдился и исправился, вынеся рассказ о модельных категориях отдельным постом, т.к. здесь уже становится тяжело ориентироваться.

[sowa.livejournal.com]

Тут снова проявляются почти диаметрально противоположные представления о математике. Начиная с оценки работы Квиллена. Самое яркое место:

"видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы."

Видите ли, из книг Вы не узнаете содержания ни одной работы. В частности, Вы не увидите перспективы. В книгах есть нечто, названное CW-комплексами, есть теорема Уайтхеда, и т.п. Все это в пережеванном виде, с выброшенными вопросами, ради которых все это было придумано, с выборшенным vision автора, и так далее. Разумеется, начинать изучать предмет надо с книг. Но вот из книг у Вас сложилась неправильная картина - Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже. На уровне книг у меня обо всем этом есть представление. А статьи я смотрел, что уточнить исторические детали.

Разумеется, работу Уайтхеда нельзя назвать недооцененной. Разве я говорил что-нибудь подобное?

Я не знаю, откуда Вы цитировали Постникова, но цитированное "объяснение" имеется в его учебнике, основанном на его лекциях в МГУ, которые он читал не один раз. Он мог вставить его и какую-нибудь статью - это все равно идет от преподавания. Тем более у того лектора. Скорее всего он заимствовал это у Постникова, но даже если он это независимо придумал - перед ним стояла ровно та же задача, о которой я говорил: дать общее представление о предмете тем, кто еще не готов к пониманию его подлинной мотивировки.

[siyuv.livejournal.com]

Все это в пережеванном виде, с выброшенными вопросами, ради которых все это было придумано, с выборшенным vision автора -- у нас действительно очень разный взгляд на математику. Именно из-за того, что автор оригинальной работы полу-вековой давности интересуется вопросами, которые как правило потеряли актуальность я и не люблю смотреть в старые статьи, если есть достойная альтернатива. Когда Вам нужно освоить что-то новое Вы тоже предпочитаете обращаться к первоисточнику? Что-то мне подсказывает, что нет. По-крайней мере статьи Кана Вы не очень-то спешите читать.

Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже -- да, гладкость изложения в Фоменке-Фуксе обманчива в этом месте. Но я не думаю, что обманулся на каком-то концептуальном уровне.

А статьи я смотрел, что уточнить исторические детали -- конечно, только с точки зрения истории мматематики это и интересно, но когда я говорю о революции в предмете последовавшей за той или иной работой, или о связи двух казалось бы не связанных работ, то проверить мои утверждения, заглянув в оригинальные статьи нельзя. Там про это ничего нет. Нужно поинтересоваться более поздними интерпретациями.

...работу Уайтхеда нельзя назвать недооцененной. Разве я говорил что-нибудь подобное? -- Вы сказали, что она разрабатывает технические средства, по сравнению с революционной работой Серра. Это выглядит как не слишком высокая оценка. И на мой взгляд не заслуженная. Техника представленная у Вайтхеда уступает два порядка технике Серра, но при этом ему удалось заложить новые основания области, перенаправить исследования в новое русло.

...перед ним стояла ровно та же задача, о которой я говорил: дать общее представление о предмете тем, кто еще не готов к пониманию его подлинной мотивировки -- спор о таком фундаментальном понятии как предмет той или иной области наверняка должен был привлечь философов науки. Не знаете ли Вы каких-нибудь филосовских трудов, способных его разрешить?

[sowa.livejournal.com]

"-- ответил ниже по ветке."

Где?

[siyuv.livejournal.com]

Здесь.

[siyuv.livejournal.com]

Трудно понять эту фразу иначе, как то, что Гуревич относится к тем, кто не смог или не захотел изучить спектральные последовательности -- речь шла про конкретную работу Гуревича. Саму работу я не читал, но вот Спаниер пишет в реферате:

...A fiber space is regular if and only if it satisfies the covering homotopy condition with the covering homotopy constant when the base homotopy is constant. It is shown that every fiber space over a metric $B$ is regular.

The triple $(E,B,p)$ is called a local fiber space if for every $b\in B$ there exists a neighborhood $U$ of $b$ such that the triple ($p^{-1}(U)$, $U$, $p|p^{-1}(U)$) is a fiber space. The main theorem asserts that a (regular) local fiber space over a paracompact space $B$ is a (regular) fiber space in the large. It follows from this that a local fiber space satisfies the covering homotopy condition for maps of paracompact spaces...

Очевидно, что автора очень интересуют тонкости связанные с теоретико-множественной топологией, поэтому конкретно эту работу следует отнести именно к "классическим". У меня не было цели как либо принизить заслуги Гуревича, тем более, что именно он ввел понятие гомотопических групп, которое и легло в основу определения слабых эквивалентностей.

Увы, не получается. -- ну тогда я, пожалуй, прекращу оправдываться, смешно это как-то. Да и не сам я дошел до этой нехитрой мысли. Вот и Постников меня поддерживает (сделайте поиск по странице на фразу "предмет так называемой гомотопической топологии"), а уж его-то вряд ли можно упрекнуть в узости взглядов (Новиков где-то писал, что именно он положил начало на мех-мате занятиям по новой датировке истории).

[sowa.livejournal.com]

Работа Гуревича доступна онлайн, ничего не стоит ее посмотреть. Равно как ничего не стоит посмотреть список работ Гуревича, и убедиться в том, что у него есть несколько работ о спектральных последовательностях.

Постников Вас не поддерживает. Это обычный и почти неизбежный педагогический прием. Студент или читатель поначалу редко готов к объяснению подлинной мотивации предмета, и ему говорят некую полуправду, вроде того, что топология изучает топологические пространства, поскольку у него еще нет кругозора для понимания содержательных объяснений. А когда этот кругозор появляется, то объяснения обычно уже не нужны. В результате они попадают разве что в обзоры и исторические книги.

Неужели Вы не читали довольно язвительные замечания П. Фрейда по поводу подобных объяснений? В частности, согласно Фрейду, категории не являются предметом теории категорий.

[siyuv.livejournal.com]

Работа Гуревича доступна онлайн, ничего не стоит ее посмотреть -- MathSciNet ссылки не дает, а Google Book Search считает, что я чрезмерно злоупотребил их доверием и мой интерес к Collected Works of Witold Hurewicz не вполне бескорыстен. Да и нет у меня особых причин предполагать, что Спаниер не сумел вычленить главных результатов из этой работы. Думаю что более-менее все что в ней было важного вошло в Фоменко-Фукса.

Равно как ничего не стоит посмотреть список работ Гуревича, и убедиться в том, что у него есть несколько работ о спектральных последовательностях -- Вы опять пытаетесь разубедить меня в том, чего я никогда не говорил? Вам это удалось.

Постников Вас не поддерживает. Это обычный и почти неизбежный педагогический прием. -- Ну не знаю как вас еще убедить. Мои аргументы Вас не убеждают, прямые ссылки Вы отвергаете под надуманными предлогами. Вообще-то мысль (не моя) о том, что топология занимается топологическими пространствами, гомотопическая топология -- пространствами с точностью до гомотопической эквивалентности, теория узлов -- узлами с точностью до изотопии, а алгебраическая геометрия -- алгебраическими многообразиями представляется мне довольно банальной, чтобы тратить столько времени на ее обсуждение. Да и Ваша мысль о том что на самом деле математики просто решают интересные задачи, а не пытаются досконально понять предмет изучения (тем более, что как правило и надежды никакой нет) тоже в общем-то не сложная и я с ней вполне согласен. Не знаю можно ли считать наше разногласие чисто лингвистическим, но в любом случае позиции сторон ясны и менять свое мнение кажется никто не собирается. Пригласим арбитра?

[sowa.livejournal.com]

Насколько я помню, у Фукса-Фоменко вообще не упоминаются расслоения Гуревича. Во всяком случае, в варианте Фукс-Фоменко-Гутенмахер. Нельзя ли ссылку?

Раз уж Вы не умеете пользоваться Гуглом, даю подсказку - весь архив этого журнала есть онлайн в свободном доступе.

Да, Ваши аргументы не убеждают. Разногласие не лингвистическое. У нас с Вами принципиально разные взгляды на математику. Я даже не знаю, как можно приобрести такие взгляды, как у Вас. Я никогда не думал, что топология занимается топологическими пространствами, etc. Один из двух разделов математики, называемых теорией узлов, действительно занимается узлами - и его интересность сомнительна.

А П. Фрейда, Вы, выходит, не читали.

[marina_p]

В Фуксе-Фоменко упоминаются расслоения Гуревича (это ведь когда есть свойство накрывающей гомотопии для произвольного, не обязательно клеточного пространства?). Определение на с.74. И, мне кажется, они там дальше где-то используются, но это уже быстро не найти.

[sowa.livejournal.com]

Действительно, упоминаются. Это хорошо, что они добавили, а то было несколько странно. Но, похоже, все-таки не используются.

[siyuv.livejournal.com]

Не используются.

[siyuv.livejournal.com]

Неужели Вы не читали довольно язвительные замечания П. Фрейда по поводу подобных объяснений? В частности, согласно Фрейду, категории не являются предметом теории категорий. -- нет не читал. Где он высказывался по этому поводу? Хотя я догадываюсь о чем может идти речь. Фрейд кажется относился к тем, кто считал что предметом теории категорий является вся математика. Это, на мой взгляд, стало одной из причин, которые привели теорию категорий к тому плачевному состоянию (не с научной точки зрения, а социальной), в котором она сейчас находится.

[sowa.livejournal.com]

Ага, я был прав - не читали. В книжке. Если я не ошибаюсь, есть только одна. Ваша догадка неправильна.

Вряд ли теория категорий находится в плачевном состоянии, если Вы имеете возможность вести столь длинную беседу об этом разделе математики с человеком, который никоим образом не является специалистом в этом предмете. Более серьезно: теория категорий, изолированная от приложений, не очень интересна. В связи с приложениями - она более чем процветает.

[siyuv.livejournal.com]

Нда, если Вы ссылаетесь на первую страницу введения вот этой книжки (ссылку на полный текст даю не потому, что сомневаюсь в Вашей компетентности как пользователя Гугла, а потому, что Вы усомнились в моей -- пожалуйста не надо в дальнейшем прибегать к столь глупым придиркам), то у Вас серьезые проблемы с пониманием не только моих несовершенных текстов. Итак, Фрейд пишет:

If topology were publicly defined as the study of sets closed under finite intersection and infinite unions a serious disservice would be perpetrated on embryonic students of topology.

...

A better (albeit not perfect) description of topology is that it is the study of continuous maps;...

Что Фрейд считает perfect description найти не удалось, но из контекста совершенно понятно, что имеется ввиду категория топологических пространств, просто слово категория само пока нуждается в определении. В общем, П. Фрейд тоже за меня. Будем продолжать спорить?

Ваша догадка неправильна -- не угадал, бывает.

Вряд ли теория категорий находится в плачевном состоянии -- она находится в плачевном состоянии, поскольку эффективно работающие люди, хоть и не гении испытывают серьезные сложности с получением работы. В прошлом году было всего одно место для прикладного категорщика (в York Uni., Toronto) и там, кажется, в конце концов поиск закрыли.

теория категорий, изолированная от приложений, не очень интересна. В связи с приложениями - она более чем процветает -- как у неинтересной теории могут бытъ интересные приложения? Вы знаете еще хотя бы один такой пример?

[sowa.livejournal.com]

Да не нужна мне ссылка. Книжка у меня на диске, скачанная с канадского сайта, а не европейского.

"Будем продолжать спорить?"

Видимо, это бесполезно, поскольку Вы не только П. Фрейда не читали, но и прочитав, missed his point - предмет не опредляется изучаемыми объектами, определение предмета по объектам изучения может очень сильно сбивать с толку, как в его примере с наборами множеств, замкнутых относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Зачем такую странную вещь изучать?

Наличие позиций - это не показатель состояния области, хотя Вас это, вероятно, больше всего занимает. Знаете, сколько было позиций по теории чисел во времена Гаусса? Ноль. Но уж если Вы настаиваете на этом критерии, то ответ прост - теорию категорий можно будет счесть процветающей, если специалистов по ней будут брать хотя бы на позиции, объявленные как "Алгебра", а еще лучше - "Чистая Математика".

В теории категорий есть внутренние проблемы, которые мало кому интересны. И есть проблемы, возникающие по ходу дела в других науках - они интересны. Собственно, все важные понятия теории категорий так и возникли. Вот так и может быть.

Пример привести очень просто: дифференциальное исчисление, которому всех учат.

[siyuv.livejournal.com]

Вы не только П. Фрейда не читали -- упрек не принимается, я не категорщик и знакомство с классикой в этой области для меня не обязательно. Если бы я Спаниера не читал, было бы хуже.

...но и прочитав, missed his point... -- Вы через чур увлекаетесь поисками скрытых смыслов. Это опасная стезя (кажется по научному она называется семиотическим анализом). Следуя ей в этом маленьком отрывке можно отыскать очень многое. С трудом сдерживаюсь чтобы не начать острить по-поводу схожести фамилии автора с фамилией основателя психоанализа (Вы это очень правильно сделали, что указали инициал, а то у меня тут жена случайно заглянула в нашу переписку, так мне стоило некоторых усилий убедить ее, что речь идет о математике) и вытекающих отсюда последствий отразившихся в печально известной истории с его дочерью.

На деле же все гораздо проще. Там написано только, что не стоит давать студентам формальное определение в качестве описания предмета, а нужно просто объяснить чем область занимается. Идеально, с точки зрения Фрейда, было бы указать категорию, являющуюся предметом изучения, хотя это конечно возможно не всегда (пример: дифуры).

Я думаю, что к Вашему подходу к определению предмета какой-либо области неизбежено приходится прибегать для очень новых, полностью еще не сложившихся областей. Пример: К-теория. В чем ее предмет мне не ясно; наверное пока этого никто определить не может, иначе как перечислив круг идей, которыми занимается эта область.

Вот еще один пример: гомологическая алгебра. Основной круг идей этой науки сложился, видимо, еще до появления книжки Картана-Эйленберга, но предмет у этой науки появился только в этой книжке: аддитивные функторы и их производные. Это не моя мысль я ее где-то прочел, но никак не могу вспомнить где.


Знаете, сколько было позиций по теории чисел во времена Гаусса? Ноль. -- охотно верю, но это как раз и означает, что с социальной точки зрения положение области было тяжелое. С научной ситуацией это коррелирует слабо.

...теорию категорий можно будет счесть процветающей, если специалистов по ней будут брать хотя бы на позиции, объявленные как "Алгебра", а еще лучше - "Чистая Математика" -- я согласен с этим определением. Все что я хотел сказать, что сегодня этого не происходит. Если кто из категорщиков и получает позицию, то на компьютерном факультете (по-крайней мере в последие года три, хотя я мог кого-то и упустить).

Собственно, все важные понятия теории категорий так и возникли -- я с этим не согласен. В теории категорий есть внутренняя логика развития. Пример важной концепции появившийся внутри теории категорий, и лишь затем нашедшей применения: квази-категории Жойаля.

Пример привести очень просто: дифференциальное исчисление, которому всех учат -- на сегодняшний день дифференциальное исчисление мертвая область. Предмет исчерпался. Но если бы Вы в таком духе стали высказываться в Англии, когда Ньютон был президентом королевского общества, то Вам, скорее всего, отрубили бы голову.

Теория категорий продолжает развиваться, в отличие от дифференциального исчисления, так что пример не годиться.

[sowa.livejournal.com]

Беда в том, что я таки смотрел Ваши работы, и усматриваю в них больше связи с книгой Фрейда, нежели с книгой Спеньера. И не посмотреть предисловие к классической книжке, лежащей на том же сайте, что книга Келли, к которой Вы меня отсылали - это сильно удручающее отсутствие любопытства (как и с работами Серра, Гуревича, и Уайтхеда). О том, чтобы читать всю книгу, речи не было - хотя, наверное, она по-прежнему ценна, раз ее отобрали для выкладывания на том сайте.

Никакого скрытого смысла там нет - скрытый смысл пытаетесь найти Вы, а не я, постоянно подсовывая мне идею, что Фрейд под предметом изучения понимает категорию. Я думаю, что у него были все возможности сказать это, если бы он так думал, для придания книге пущей важности. Но он этого не сделал.

Как это К-теория вдруг оказалась очень новой областью? Ей примерно 50 лет, всего на 10 лет меньше, чем теории категорий. К-теория - действительно хорошая иллюстрация того, что Ваш подход не работает. Вот иллюстрация "с другого конца": гармонический анализ. Гомологическая алгебра действительно появилась до книги Картана-Эйленберга (скажем, работы Хопфа и Эйленберга-Маклейна 40-х годов безусловно к ней относятся), и предмет ее не ограничивается предметом книги Эйленберга-Маклейна. Скажем, есть производные функторы неаддитивных функторов, и мне даже неловко об этом писать.

Таким образом, Вы согласились с тем, что теория категорий не процветает. Грустный вывод, я надеялся на другой.

Разумеется, в какой-то момент любая наука начинает заниматься внутренними задачами. Но, видимо, важность этих внутренних идей в теории категорий еще не доказана - иначе бы она "процветала".

В целом, этот тред получился забавным. Мне теория категорий очень нравится, хотя я никоим образом не специалист, и мне удалось доказать Вам, специалисту, что она не процветает. Я думаю, что тут что-то не так - было неявно принято неправильное представление о том, что такое теория категорий. Но у нас с Вами с этим вообще трудно - мы не сходимся даже в базовых представлениях о том, что является предметом какой-то науки.

Я думаю, что Ньютон меня бы поддержал. Он-то занимался интересными приложениями метода флюксий, а дифференциальное исчисление придумал Лейбниц. В Британии полагали, что Лейбниц все украл, но, возможно, они сочли бы мою идею неплохим компромиссом - он не украл, а просто придумал нечто гораздо менее интересное, чем придуманное Ньютоном.