...поменяла предмет изучения с алгебраических многообразий на схемы -- меня просто всегда учили, что не стоит излишне углубляться в абстракции, мол математика изучает числа и фигуры. Я, правда, все равно увлекся модельными категориями, но всегда объясняю свой интерес к ним конкретными задачами, связанными с пространствами. Если бы я написал в Research Statement что-либо другое, то вряд-ли получил хоть какую-то позицию. Мне кажется, что в алгебраической геометрии дела обстоят схожим образом: часть людей вовсе не использует ни схемы ни алгебраические пространства (я таких не встречал, но мне говорили что имеются и весьма влиятельны), а те кто используют в обязательном порядке мотивируют свой интерес к ним конкретными задачами.
Что значит "вычислять"? -- вычислять означает получить эффективные средства вычислений, принципиальная вычислимость никому не помогает.
Теория гомотопий развивалась в основном после диссертации Серра -- конечно, золотой век настал. Только не для классической теории.
Даже понятие расслоения Гуревича появилось после Серра. -- действительно, я даже не знал, опубликовано в 55 году. Видимо работа Серра его подтолкнула к тому чтобы обобщить старые идеи с помощью поднятия гомотопий. Но это ничего не меняет, в 41 году Гуревич и Стинрод опубликовали гомотопическую точную последовательность расслоения. Понятие расслоенного пространства у них было, кажется, более общее чем локально тривиальное расслоение. После 55 года классическую теорию продолжала развивать в основном немецкая школа (но занималась она далеко не только этим). В любом случае, на сегодняшний день вся эта активность практически прекратилась.
Есть еще теория шейпов, которая видимо наиболее активно изучала гомотопические типы отличные от полиэдров, но они пошли по другому пути, моделируя свои пространства обратными системами "хороших" пространств и пришли к изучению про-категории пространств (Эдвардс и Хэстингс первыми построили на про-пространствах модельную структуру), но сегодня даже эта активность почти сошла на нет.
Это недавно обсуждалось в ЖЖ -- я видимо пропустил, а где не припомните?
...чем работу, посвященную "компактным топологическим пространствам" -- Вы правы, однако причины у такой заброшенности разные. Компактные пространства очень хорошо изучены с точки зрения теоретико-множественной топологии. Про них были доказаны нетривиальные результаты в 30х годах (например Понтрягиным). С изучением же сильных гомотопических типов ничего не продвинулось дальше элементарных результатов, никакие современные методы на них не перенесены (и видимо никто не ожидает, что могут быть перенесены). В результате вся эта область потеряла актуальность.
Я не могу думать о развитии теории модельных категорий как о самостоятельной задаче -- я тоже этого не делаю, мной всегда руководит конкретная задача. Сформулировать задачи для которых бы потребовалась модельная категория Строма не сложно, например построить гомотопическую локализацию в сильной категории, но я не вижу мотивации, чтобы их решать.
no subject
я написал в Research Statement что-либо другое, то вряд-ли получил хоть какую-то позицию. Мне кажется, что в алгебраической геометрии дела обстоят схожим образом: часть людей вовсе не использует ни схемы ни алгебраические пространства (я таких не встречал, но мне говорили что имеются и весьма влиятельны), а те кто используют в обязательном порядке мотивируют свой интерес к ним конкретными задачами.
-- вычислять означает получить эффективные средства вычислений, принципиальная вычислимость никому не помогает.
-- конечно, золотой век настал. Только не для классической теории.
-- действительно, я даже не знал, опубликовано в 55 году. Видимо работа Серра его подтолкнула к тому чтобы обобщить старые идеи с помощью поднятия гомотопий. Но это ничего не меняет, в 41 году Гуревич и Стинрод опубликовали гомотопическую точную последовательность расслоения. Понятие расслоенного пространства у них было, кажется, более общее чем локально тривиальное расслоение. После 55 года классическую теорию продолжала развивать в основном немецкая школа (но занималась она далеко не только этим). В любом случае, на сегодняшний день вся эта активность практически прекратилась.
Есть еще теория шейпов, которая видимо наиболее активно изучала гомотопические типы отличные от полиэдров, но они пошли по другому пути, моделируя свои пространства обратными системами "хороших" пространств и пришли к изучению про-категории пространств (Эдвардс и Хэстингс первыми построили на про-пространствах модельную структуру), но сегодня даже эта активность почти сошла на нет.
-- я видимо пропустил, а где не припомните?
-- Вы правы, однако причины у такой заброшенности разные. Компактные пространства очень хорошо изучены с точки зрения теоретико-множественной топологии. Про них были доказаны нетривиальные результаты в 30х годах (например Понтрягиным). С изучением же сильных гомотопических типов ничего не продвинулось дальше элементарных результатов, никакие современные методы на них не перенесены (и видимо никто не ожидает, что могут быть перенесены). В результате вся эта область потеряла актуальность.
-- я тоже этого не делаю, мной всегда руководит конкретная задача. Сформулировать задачи для которых бы потребовалась модельная категория Строма не сложно, например построить гомотопическую локализацию в сильной категории, но я не вижу мотивации, чтобы их решать.