Комплексно-аналитическая геометрия - это несколько другой предмет, нежели алгебраическая геометрия. И там тоже есть свой аналог схем - аналитические пространства, но это слишком трудный предмет для нового поколения.

Если даже Вы не следуете тому, чему Вас некие люди учили, то с какой стати к этому учению прислушиваться тем, кого этому не учили?

Пуанкаре не изучал пространств с точностью до гомотопической эквивалентности. Я не уверен, что у него было это понятие. И Александров, Хопф, Понтрягин - тоже. Вообще, мы тут сильно расходимся в том, что является предметом той или иной науки. Несколько философский вопрос. Более-менее никто не изучал и не изучает произвольные пространства с точностью до гомотопической эквивалентности. Изучают интересные вопросы про пространства, обычно довольно простые. Другие пространства появляются по ходу дела, вроде пространств отображений (работа Милнора очень простая - он просто сделал некую полезную работу). Для работы с этими другими пространствами нужен некий framework, и не всегда удобно проверять, что каждое возникающее пространство гомотопически эквивалентно CW-комплексу.

Спор у нас довольно беспредметный. Вы занимаетесь неким предметом, там не нужны никакие "общие" пространства, и Вас больше интересует то, что симплициальные множества можно заменять на другие категории, нежели то, что есть какие-то результаты применимы к довольно обширным классам пространств. А меня больше занимает в данный момент то, что теорию гомотопий можно построить для широкого класса пространств. Я вас не агитирую бросать Ваши занятия, и, наверное, не стоит убеждать меня в том, что интересная мне тема неинтересна.

Кстати, Гуревич не относится к числу тех, кто не смог выучить спектральные последовательности.