Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[sowa.livejournal.com]

Я посмотрел вторую работу Коула, и не заметил там никаких претензий к доказательствам Строма. Если бы у Строма были дыры, известные Коулу, он был бы просто объязан на них указать. Он не передоказывает теорему Строма в ослабленном виде, а доказывает нечто иное.

Мэй же пишет:

"Strom proves the conclusion of the theorem for general spaces, and his argument works for k-spaces, but the details of his proof must of course differ from Cole's."

Это совсем не похоже на утверждение о том, что у Строма есть дыры. Насчет тонкого места:

"However, there is another quite subtle point in Strom's proof of the model axioms. The factorization of a map as the composite of a cofibration and an acyclic fibration makes use of the fiberwise join (or generalized Whitney sum), and a key point is an old observation (of somebody named Hall) that the fiberwise join of (Hurewicz) fibrations is a fibration."

"A subtle point" - это не ошибка, и не дыра. Это просто a subtle point - нечто нетривиальное, и (видимо, это и хотел подчеркнуть Мэй) не обощающееся очевидным образом.

Так что, мне кажется, Ваши претензии к работе Строма необоснованы.

[siyuv.livejournal.com]

Ваши претензии к работе Строма необоснованы -- мои претензии основываются не только на этом посте Мэя. Я пытался изучать саму работу (но когда понял, что это связано с длительным изучением потерявших актуальность работ, то я оставил это занятие). Также я говорил на эту тему со специалистами. Наверное можно истолковать пост Мэя и так как Вы это делаете, но все равно нужно учитывать, что вся область получила очень сильный толчок к развитию в конце 90х, были написаны несколько монографий, некоторые из которых эту работу цитировали, но нового изложения так и не появилось (до работы Коула, которая доказывает некоторое обобщение работы Строма, но только для компактно-порожденных пространств), хотя основы области были весьма серьезно пересмотрены. Я вполне допускаю, что в начале 70х работа Строма не вызывала никаких сомнений, поскольку эксперты были хорошо знакомы с использующейся техникой, но пересмотреть ее, на мой взгляд стоило, что Коул и сделал, и чему я безусловно рад (хотя и обнаружил я это только после того как затеял спор с Вами, но как только обнаружил сразу же дал ссылку). В любом случае, у меня нет на данный момент сомнений в правильности результата, но это все равно не делает категорию Строма центральным объектом в теории модельных категорий, по причинам на которые я указывал раньше. Я вполне допускаю, что лучшее понимание этой категории приведет к новым приложениям (например к некоммутативной геометрии), но работа Коула нас к этому не приближает, а сильная категория остается эзотерикой.

[sowa.livejournal.com]

"Я вполне допускаю, что в начале 70х работа Строма не вызывала никаких сомнений, поскольку эксперты были хорошо знакомы с использующейся техникой...""

О да. Масса текстов 70-х годов, вероятно, были понятны тогда друзьям авторов, а теперь представлют собой загадки. Правда, для меня работа Коула выглядит менее доступной, чем Строма. Если она мне вдруг понадобится, я попытаюсь доказать все сам, но не читать работы школы Мэя. :-)

"...не делает категорию Строма центральным объектом в теории модельных категорий..."

Казалось бы, если теория модельных категорий действительно существует, то ни эта категория, ни категория Серра-Квиллена могут быть только примерами.

"...сильная категория остается эзотерикой."

Не более, чем собственно теория гомотопий.

[sowa.livejournal.com]

...не могут быть более, чем примерами.

[siyuv.livejournal.com]

...не могут быть более, чем примерами. -- Примеры бывают содержательными, а бывают просто примеры. В теории коммутативных колец тоже имеется немало примеров, но не станете же вы сравнивать кольцо целых чисел с кольцом многочленов от несчетного числа образующих, профакторизованному по идеалу порожденному случайным несчетным набором отношений. Всякое унитарное кольцо является естественным образом алгеброй над Z; всякое кольцо является гомоморфным образом свободного кольца. Эти свойства переносятся на достаточно хорошие модельные категории, а роль Z принимает на себя категория симплициальных множеств (часто можно заменить ее на пространства со слабой модельной категорией). Категория Строма в этом контексте гораздо хуже любого самого жуткого кольца, она не симплициальна (не известно эквивалентна ли какой-нибудь симплициальной категории) и ее нельзя сгенерировать с помощью порождающих и соотношений (т.е. "нельзя" в смысле "не известно можно ли").

[sowa.livejournal.com]

Примеры важны не тогда, когда другие примеры являются их факторами. Свободные группы - далеко не самые интересные группы. Примеры важны, когда они появляются естественно.

Если теория модельных категорий рассматривает категорию Строма как патологический пример, то это значит только то, что она не приспособлена для изучения наиболее естественного примера. Видимо, я был неправ и зря приплел аксиомы Квиллена в дискуссии у Аввы. My point can be made without them.

[siyuv.livejournal.com]

...как патологический пример -- это не недостаток модельных категорий, все остальные рассматривает категорию Строма тоже как патологию. Естественность ее не спасает. Нет эффективных методов для изучения жутких пространств с точки зрения гомотопии. В то же самое время у модельных категорий имеется некоторый потенциал для развития, т.е. если постараться, то можно включить категорию Строма в общую теорию, но нет мотивации чтобы это делать.

[sowa.livejournal.com]

Как я уже написал, я вовсе не считаю, что нужно изучать "жуткие пространства".

[siyuv.livejournal.com]

Хорошо, тогда эту ветку можно считать закрытой.