Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[sowa.livejournal.com]

Примеры важны не тогда, когда другие примеры являются их факторами. Свободные группы - далеко не самые интересные группы. Примеры важны, когда они появляются естественно.

Если теория модельных категорий рассматривает категорию Строма как патологический пример, то это значит только то, что она не приспособлена для изучения наиболее естественного примера. Видимо, я был неправ и зря приплел аксиомы Квиллена в дискуссии у Аввы. My point can be made without them.

[siyuv.livejournal.com]

...как патологический пример -- это не недостаток модельных категорий, все остальные рассматривает категорию Строма тоже как патологию. Естественность ее не спасает. Нет эффективных методов для изучения жутких пространств с точки зрения гомотопии. В то же самое время у модельных категорий имеется некоторый потенциал для развития, т.е. если постараться, то можно включить категорию Строма в общую теорию, но нет мотивации чтобы это делать.

[sowa.livejournal.com]

Как я уже написал, я вовсе не считаю, что нужно изучать "жуткие пространства".

[siyuv.livejournal.com]

Хорошо, тогда эту ветку можно считать закрытой.