siyuv | Модельная категория Строма

Entry tags:

math

Модельная категория Строма

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Flat | Top-Level Comments Only

Вы дважды упомянули слово "финансирование" -- я имел в виду, что приложения необходимы любой области, чтобы убедить коллег в своей полезности, иначе ни то что грантов, рабочих мест не увидать последователям. По-поводу гос-финансирования я склонен с Вами согласиться (перечитал дискуссию годичной давности у Вас в журнале), но ведь институт Клэя и AIM вроде бы частные инициативы (сюда же наверное следует отнести институт Миттага-Леффлера, хотя сегодня он и поддерживается государством), так что не все потеряно.

Как оно все устроено на самом деле? -- Кроме симплициальных комплексов топологи рассматривали также кубические (Серр их использовал для вывода спектральной последовательности расслоения). Потом необходимость в них в основном отпала и их почти прекратили изучать (кроме Бангорской школы). Зато симплициальные комплексы переросли в симплициальные множества и развились в полноценную гомотопическую теорию. Оставался вопрос, а можно ли то же самое повторить для кубических множеств или каких-нибудь других, или же симплексы (категория конечных ординалов) какие-то особенные? Гротендик предложил рассматривать тестовые категории, характеризующиеся двумя свойствами: во-первых они должны быть стягиваемыми, а второе свойство более техническое, но наверняка имеет явный геометрический смысл, просто я что-то не соображу сейчас; вот лекция Жардина на эту тему. Так вот, первая гипотеза заключалась в том, что предпучки на тестовых категориях должны оснащаться модельной структурой эквивалентной пространствам. Эта гипотеза (и несколько других) была недавно (2003) доказана Сизинским (франц.; имеется так же пересказ Жардина по английски, который, кстати, за год до доктората Сизинского независимо построил модельную категорию для кубических множеств, но решил не публиковать когда увидел общее решение), а вся эта область получила название "гомотопической теории Гротендика" и активно развивается в основном, к сожалению, усилиями французской школы.

На сегодняшний день мне известно только одно утверждение, которое указывает на то, что симплексы чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще. Это лемма Мура говорящая что симплициальные группы автоматически фибрантны как симплициальные множества. Я спрашивал и у Жардина и у Сизинского, они не знают выполняется ли это свойство в других категориях. Хорошая тема для мастерской диссертации.

Зашкалил за лимит ЖЖ для длинны комментов, продолжение следует.

Клэй - в основном a public relation stunt. Это способ поддерживать не математику, а репутацию Клэя. Пожалуй, на данный момент его деятельность вреднее госфинансирования. AIM будет потише. Но их манера организовывать конференции...

Спасибо за ссылки. Все это очень интересно, но мне осталось непонятным, почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?".

Симплексы, на мой взгляд, хороши тем, что возникают естественно.

...почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?" -- потому, что показывает что симплексы ни чем не лучше чего бы то ни было еще. Дискретные модели гомотопических типов пространств можно строить из чего угодно. Это важное концептуальное заключение, хотя не уверен, что с практической точки зрения оно будет иметь какие-то последствия в ближайшее время. Слишком хорошо проработана симплектическая теория, чтобы от нее отказываться. У кубов есть некоторые технические преимущества (произведение кубов снова куб), но они пока не перетягивают чашу весов.

Мне известен только один контекст, в котором симплексы появляются "естественно". Это комбинаторное описание полиэдров при помощи симплициальных комплексов. Топологи давно отказались от него из-за чудовищных категорных свойств, но комбинаторики, в особенности алгебраические, продолжают использовать, приводя даже топологические аргументы, которые не всегда просто перевести на язык симплициальных множеств, хотя такой перевод добавляет понимания.

Мы по-разному понимаем вопрос "Как оно все устроено на самом деле?"

С моей точки зрения, то, что что-то можно делать иначе, не имеет к нему никакого отношения.

Симплексы появились естественно в теории гомологий. То, что произведение кубов является кубом, известно давно, и даже использовалось, но то, что за почти 60 лет это не привело к распространению кубов, на мой взгляд, кое-то о них говорит.

Симплексы появились естественно в теории гомологий -- Вы слишком часто используете слово "естественно". Поскольку в теории категорий оно имеет строгий смысл, мне все время хочется потребовать у Вас доказательство. Кубы тоже появились в теории гомологий, ну и что? Как определить кто более естественен? Ответ на вопрос: "Чем симплексы лучше?", получен -- ничем (кроме леммы Мура, с которой вопрос пока открыт). Все кроме комбинаториков (или комбинаторов?) вроде бы удовлетворены. Видимо Вы занимаетесь комбинаторикой. Учитывая Вашу эрудированность в некоторых областях, скорее алгебраической комбинаторикой. Прошу не считать это попыткой вскрыть Вашу real identity.

Нет, мое употребление слова "естественный" имеет слабое отношение к его специфическому категорному смыслу. Пересечение, конечно есть. Я использую его в обычном разговорном смысле.

Кубы появились в теории гомологии - и исчезли. Для меня это свидетельство того, что они неестественны. То, что и симплексы, и кубы, и еще что-то удовлетворяют некоторому набору аксиом, никак не может означать, что симплексы "ничем не лучше". Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать. Есть масса конструкций, которые ведут к каноническому разбиению на симплексы полезных пространств. И я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба.

Любопытно, что меня уже не в первый раз принимают за специалиста по алгебраической комбинаторике. Правда, раньше принимали за вполне конкретного.

Кубы появились в теории гомологии - и исчезли -- до конца никогда не исчезали; Рони Браун даже как-то обиделся на Жардина за то, что тот высказался в этом духе в своем препринте. Но даже если и исчезли, вон теперь снова появились. Это о чем говорит? Миша Поляк как-то агитировал за кубические комплексы, через которые удобно определять инварианты конечного типа. Одним из аргументов был следующий. Помните старые советские пакеты из-под молока? Тетраэдральные? Так вот, в конце концов их заменили на прямоугольные параллелепипеды, так что кубы всегда побеждают.

Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать -- может быть, но этот эффект не измерить. На одном семинаре по комбинаторике меня позабавило, что докладчик все время говорил про джойны симплициальных комплексов, но ни разу не упомянул про их произведение. В какой-то момент я спросил почему бы не воспользоваться произведением? На что получил ответ, что оно не определено. Я попытался объяснить, что можно перемножить пространства, а потом взять какое-нибудь разбиение на симплексы, и что с джойном по сути происходит тоже самое, но тут меня спросили что такое джойн топологических пространств... Вобщем стало понятно, что у нас отсутствует достаточная общая база для конструктивного обсуждения. Не от излишнего ли увлечения симплексами это произошло?

...я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба -- скорее всего такая конструкция Вам пока была не нужна. Не думаю что возникли бы сложности с ее построением, понадобись она кому-нибудь. Например аналог сингулярного функтора в кубическом случае имеется.

Вряд ли Вы считаете аргумент с молочными пакетами серьезным.

"...может быть, но этот эффект не измерить."

Очень даже можно. Сколько работ используют симплициальные множества и "симплициальные комплексы" (в классическом смысле), и сколько - кубы?

Если кто-то не знает, как триангулируется произведение двух симплексов - это значит только то, что он плохо учился.

Про сингулярные кубические гомологии я знаю. Я не знаю естественно возникающего пространства с естественным разбиением на кубы.

Вряд ли Вы считаете аргумент с молочными пакетами серьезным -- нет, но в статье по ссылке приведены более серьезные аргументы в пользу кубических комплексов.

Сколько работ используют симплициальные множества и "симплициальные комплексы" (в классическом смысле), и сколько - кубы? -- никто и не спорит с тем что симплексы на сегодняшний день гораздо более популярны, но чтобы показать, что они чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще, нужно представить какой-то метод/принцип/урверждение верное/применимое для симплексов и неприменимое к чему бы то ни было еще. У леммы Мура есть потенциал стать таким утверждением.

Я не знаю естественно возникающего пространства с естественным разбиением на кубы - я что-то перестал понимать о чем вы говорите. Приведите пожалуйста пример "естественного" разбиения на симплексы какого-нибудь пространства.

это значит только то, что он плохо учился - нет, области настолько далеко разошлись, что современные комбинаторики часто вовсе не знают алгебраической топологии, а современные топологи понятия не имеют о классических симплициальных комплексах, равно как и об операциях над ними. Мало кто из топологов знает, например, что такое алгебраический сдвиг.

А что такое алгебраический сдвиг?

Ой, я на эту тему прослушал ровно один доклад (вот по этой статье). Имеется также обзорная статья основателя области.

sowa бы наверняка лучше рассказал, но тогда он засветится с головой.

С точки зрения топологии это некий оператор на симплициальных комплексах, всегда выдающий букет сфер (или даже окружностей, не помню точно) на выходе. Интересно что он "идемпотентен", т.е. повторное применение ничего не меняет. Этим он напоминает многие важные конструкции в топологии под общим названием локализации (например сечение Постникова). Существенное отличие: никакой функториальности. Я тогда пытался придумать как бы вписать эту конструкцию в общую картину, но ничего не надумал. Сейчас, правда, появились примеры нефункториальных локализаций. Наверное стоит снова взглянуть на алгебраический сдвиг.

Спасибо!

Заглянула в обзорную статью -- что-то это не очень интересно, не возникает желания знакомиться...

А что такое k-set? Они там появляются почти в самом начале, без определения.

А что такое k-set? -- по-моему просто множество из k чисел. Действительно странный термин.

...не возникает желания знакомиться... -- я не пытался Вас сагитировать. Ссылку на обзорную статью дал только потому, что не смог быстро вычленить определение. Понадеялся на Вас.

Ну просто вы сказали: "Мало кто из топологов знает, например, что такое алгебраический сдвиг". Звучит так, что им бы следовало это знать. А мне топология нравится, а эти сдвиги, судя по тому, что я в начале этой статьи увидела, -- совсем нет. И вот Сове тоже не понравилось. Так что, может, это не топологи виноваты, что они про алгебраический сдвиг не знают? :-)

Звучит так, что им бы следовало это знать -- нет, это всего лишь пример того, насколько далеко разошлись эти области. Для комбинаторики вроде бы важная концепция. Нужна ли она топологам? Не думаю. Разве что удасться что-нибудь продвинуть в комбинаторике.

Вы меня определенно с кем-то путаете. Я об этом ничего не знаю, и обзорная статья не вызвала у меня энтузиазма - я даже до определения не добрался.

Вы меня определенно с кем-то путаете -- я думаю, что был на Ваших лекциях в Иерусалиме в 2003 году. Могло такое быть?

я даже до определения не добрался -- я тоже не добрался, поэтому и дал ссылку.

Не могло. С огромным запасом.

В статье по ссылке никаких серьезых аргументов нет. Авторы рассматривают ситуацию, в которой структура куба {+,-} присутствует с самого начала. Триангулировать этот куб, действительно, незачем.

"чтобы показать, что они чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще, нужно представить какой-то метод/принцип/урверждение верное/применимое для симплексов и неприменимое к чему бы то ни было еще."

Нет. Burden of proof на другой стороне. Имеется полезная и удобная теория, с массой разнообразных приложений. Если некто утверждает, что другая теория лучше, он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов.

"Приведите пожалуйста пример "естественного" разбиения на симплексы какого-нибудь пространства."

Билдинги Титса, например. Нерв любой категории является симплициальным множеством, в частности, BG = K(G,1), где G - дискретная группа.

" нет, области настолько далеко разошлись"

Какие области далеко разошлись? Комбинаторика и топология? Они раньше совсем не взаимодействовали. И речь идет об элементарном факте.

Мы возрващаемся к проблеме, о которой уже шла речь. Доступ к теории симплициальных множеств сильно затруднен отсутствием доступных для чтения изложений, и черезмерной абстрактностью современных изложений. Черезмерной не в том смысле, что она кому-то трудна, а в том, что она неадекватна предмету. Ваша агитация за замену симплексов "почти чем угодно" это прекрасно иллюстрирует.

Если некто утверждает, что другая теория лучше... -- для ясности: я этого не утверждал, наоборот выше в этой ветке выражал уверенность, что технических преимуществ кубов не достаточно чтобы перетянуть чашу весов.

...он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов. -- понятно, а как показать что кубы не хуже симплексов?

Билдинги Титса -- это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу.

Нерв любой категории является симплициальным множеством -- кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина).

Комбинаторика и топология? Они раньше совсем не взаимодействовали. -- ни раньше, не сегодня особого взаимодействия нет. Речь идет о том, что комбинаторика заинтересовалась симплициальными комплексами, в то время как топология от них отказалась, перейдя на смплициальные множества. Науки развиваются в разных направлениях и понимать друг друга все сложнее и сложнее.

И речь идет об элементарном факте. -- этот факт элементарен когда нужно триангулировать произведение топологических симплексов, а если нужно определить произведение симплициальных комплексов, то встает вопрос о выборе "естественной" триангуляции. Я не знаю хорошего решения. А Вы? Для джойна комплексов такая триангуляция имеется (объединение симплексов). С точки зрения тополога в ней нет ничего естественного, но простота определения подкупает.

Ваша агитация за замену симплексов "почти чем угодно" -- неужели Вы настолько превратно меня поняли, или намеренно иронизируете?

"понятно, а как показать что кубы не хуже симплексов?"

А зачем? Если они не лучше, а симплексами мы уже давно освоились, то стоит ли плодить сущности без необходимости?

"это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу."

Вы спрашивали о естественно возникающих разбиениях пространств на симплексы, а не о симплициальных множествах. Но, я думаю, вы знаете, как состряпать из симплициального комплекса симплициальное множество. Особенно в том случае, когда на вершинах есть канонический порядок.

" кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина)."

А зачем его заменять, когда они сразу получаются как симплициальные множества, и эта конструкция связана с другими полезными конструкциями? Определение, конечно, не то же самое.

"ни раньше, не сегодня особого взаимодействия нет. Речь идет о том, что комбинаторика заинтересовалась симплициальными комплексами, в то время как топология от них отказалась, перейдя на смплициальные множества."

Во, а люди-то и не знают. И топологи зачем-то преподают симплициальные комплексы в базовых курсах.

"С точки зрения тополога в ней нет ничего естественного, но простота определения подкупает."

И где вы берете таких топологов? Впрочем, Вы иначе понимаете предмет топологии, нежели я, и, видимо, мои знакомые топологи по-вашему топологами не являются.

"неужели Вы настолько превратно меня поняли"

Понял, как написано.

...стоит ли плодить сущности без необходимости? -- это вопрос Гротендику? Гипотеза вроде его была.

Вы спрашивали о естественно возникающих разбиениях пространств на симплексы -- а Вы привели мне пример реализации абстрактного симплициального комплекса, так реализация любого симплициального комплекса будет разбита на симплексы, тут не требуется конкретизация, равно как и реализация любого кубического множества будет разбита на кубы.

А зачем его заменять -- незачем.

они сразу получаются как симплициальные множества -- что значит сразу? Надо сначала определить. Можно определять как симплициальное множество, а можно как кубическое.

Определение, конечно, не то же самое -- с точностью до замены симплексов на кубики. Хотя я не уверен что Вы считаете определением. Я имею ввиду следующее: n-мерные симплексы это все функторы из ординала [n-1] в данную категорию.

Во, а люди-то и не знают -- Я имел ввиду увеличивающийся разрыв между комбинаторикой абстрактных симплициальных комплексов и гомотопической топологией. Насколько я знаю, в комбинаторике активно используются достижения топологии 50х годов. Мне не известно использование в топологии результатов из комбинаторики абстрактных симплициальных множеств.

Я не претендую на абсолютное знание ни в этой, ни в какой-либо другой области. Если Вы знаете примеры интересного взаимного влияния, то расскажите пожалуйста, а не ерничайте.

...топологи зачем-то преподают симплициальные комплексы в базовых курсах -- преподают топологические симплициальные комплексы, абстрактные не преподают. Не надо путать.

И где вы берете таких топологов? -- я говорю только от своего лица.

видимо, мои знакомые топологи по-вашему топологами не являются -- не спешите решать за меня. Даже то что я пишу Вы порой понимаете с точностью до наоборот.

Понял, как написано -- написано ровно противоположное. Перечитайте пожалуйста.

Давайте так - если Вы говорите от своего лица, то Вы не отсылаете меня к Гротендику за объяснениями. Гротендику 80 лет, он уже давно никому не доступен, и спросить его я не могу. Нет у меня и времени разбираться в его тысячестраничных манускриптах. Гротендик работал на запредельном уровне в 1950-70-м, но это не основание считать все написанное после священным писанием.

Мы как-то воду с ступе толчем по следующему вопросу. Я Вам привел примеры исключительно полезных симплициальных комплексов, таких, как билдинги Титса. Вы не привели ни одного примера полезного кубического комплекса, кроме работы Матвеева-Поляка, которая просто переизлагает всем известные вещи.

Исходное определение (кстати, Гротендика) нерва категории немного более прямое. Разумеется, оно эквивалентно определению через функторы, но оно интуитивнее и напрямую связано с такими полезными вещами, как стандартные резольвенты.

При чем тут использование результатов комбинаторики в топологии? Симплициальные комплексы входят в любой вводный курс топологии. Мне трудно думать, что топологи так преподают по тупости, или незнанию каких-то современных идей.

""И где вы берете таких топологов?" -- я говорю только от своего лица."

А! Так Вы считаете себя топологом, и ту область, которой Вы занимаетесь - топологией! Наверное, это почти все объясняет. Действительно, те топологи, с которыми я знаком, занимаются чем-то совсем другим, и вряд ли сочтут Вас топологом. Я бы классифицировал Вас как специалиста по прикладной теории категорий.

Да нет, написано не противоположное. Написано, что симплициальные множества используются только в силу того случайного обстоятельства, что их теория к данному моменту хорошо разработана. А так - остальные ничем не хуже, и за кубический вариант Вы определенно агитируете.

 
---------------------
 \        |        /
  \       |       /
   \      |      /
    \    / \    /
     \  /   \  /
      \/     \/
       \     /
        \   /
         \ /
          V

Более общо, n-мерный симплекс можно разбить на (n+1) n-мерный куб.

Да, конечно.

Flat | Top-Level Comments Only

Модельная категория Строма

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

(no subject)

(no subject)

(no subject)

(no subject)

no subject

no subject