Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[siyuv.livejournal.com]

...стоит ли плодить сущности без необходимости? -- это вопрос Гротендику? Гипотеза вроде его была.

Вы спрашивали о естественно возникающих разбиениях пространств на симплексы -- а Вы привели мне пример реализации абстрактного симплициального комплекса, так реализация любого симплициального комплекса будет разбита на симплексы, тут не требуется конкретизация, равно как и реализация любого кубического множества будет разбита на кубы.

А зачем его заменять -- незачем.

они сразу получаются как симплициальные множества -- что значит сразу? Надо сначала определить. Можно определять как симплициальное множество, а можно как кубическое.

Определение, конечно, не то же самое -- с точностью до замены симплексов на кубики. Хотя я не уверен что Вы считаете определением. Я имею ввиду следующее: n-мерные симплексы это все функторы из ординала [n-1] в данную категорию.

Во, а люди-то и не знают -- Я имел ввиду увеличивающийся разрыв между комбинаторикой абстрактных симплициальных комплексов и гомотопической топологией. Насколько я знаю, в комбинаторике активно используются достижения топологии 50х годов. Мне не известно использование в топологии результатов из комбинаторики абстрактных симплициальных множеств.

Я не претендую на абсолютное знание ни в этой, ни в какой-либо другой области. Если Вы знаете примеры интересного взаимного влияния, то расскажите пожалуйста, а не ерничайте.

...топологи зачем-то преподают симплициальные комплексы в базовых курсах -- преподают топологические симплициальные комплексы, абстрактные не преподают. Не надо путать.

И где вы берете таких топологов? -- я говорю только от своего лица.

видимо, мои знакомые топологи по-вашему топологами не являются -- не спешите решать за меня. Даже то что я пишу Вы порой понимаете с точностью до наоборот.

Понял, как написано -- написано ровно противоположное. Перечитайте пожалуйста.

[sowa.livejournal.com]

Давайте так - если Вы говорите от своего лица, то Вы не отсылаете меня к Гротендику за объяснениями. Гротендику 80 лет, он уже давно никому не доступен, и спросить его я не могу. Нет у меня и времени разбираться в его тысячестраничных манускриптах. Гротендик работал на запредельном уровне в 1950-70-м, но это не основание считать все написанное после священным писанием.

Мы как-то воду с ступе толчем по следующему вопросу. Я Вам привел примеры исключительно полезных симплициальных комплексов, таких, как билдинги Титса. Вы не привели ни одного примера полезного кубического комплекса, кроме работы Матвеева-Поляка, которая просто переизлагает всем известные вещи.

Исходное определение (кстати, Гротендика) нерва категории немного более прямое. Разумеется, оно эквивалентно определению через функторы, но оно интуитивнее и напрямую связано с такими полезными вещами, как стандартные резольвенты.

При чем тут использование результатов комбинаторики в топологии? Симплициальные комплексы входят в любой вводный курс топологии. Мне трудно думать, что топологи так преподают по тупости, или незнанию каких-то современных идей.

""И где вы берете таких топологов?" -- я говорю только от своего лица."

А! Так Вы считаете себя топологом, и ту область, которой Вы занимаетесь - топологией! Наверное, это почти все объясняет. Действительно, те топологи, с которыми я знаком, занимаются чем-то совсем другим, и вряд ли сочтут Вас топологом. Я бы классифицировал Вас как специалиста по прикладной теории категорий.

Да нет, написано не противоположное. Написано, что симплициальные множества используются только в силу того случайного обстоятельства, что их теория к данному моменту хорошо разработана. А так - остальные ничем не хуже, и за кубический вариант Вы определенно агитируете.

[siyuv.livejournal.com]

...не отсылаете меня к Гротендику за объяснениями -- разумеется не отсылаю, это был риторический вопрос. Просто Вы сформулировали свой вопрос так (зачем умножать сущности?), как будто бы я несу за это ответственность. Я не мог не указать на первоисточник.

...но это не основание считать все написанное после священным писанием -- больше не буду, но конкретно эту его гипотезу, а также ее решение я считаю важным концептуальным шагом на пути к пониманию математического космоса. Практических последствий от этого не ожидаю.

Вы не привели ни одного примера полезного кубического комплекса... -- видимо в том смысле, в котором вы это понимаете таких примеров нет. Я не преследовал цель убедить Вас в полезности кубических комплексов, а всего лишь привел контр-аргумент к Вашему утверждению, что они исчезли из математики.


При чем тут использование результатов комбинаторики в топологии? -- совершенно не при чем, это был ответ на Вашу реплику: "Во, а люди-то и не знают".

Симплициальные комплексы входят в любой вводный курс топологии -- повторяю: топологические входят (не в любой -- в Фоменко-Фуксе нету), абстрактные не входят ни в какой (в частности, Хатчер посвящает им один абзац).

...топологи так преподают по тупости, или незнанию каких-то современных идей -- нет конечно, причина гораздо более прозаична, при преподавании симплициальных комплексов возникает некоторое пересечение (идейное и с точки зрения обозначений) с сингулярными гомологиями, которую по-любому надо дать, поэтому с педагогической точки зрения симплициальные комплексы выгоднее чем CW. Именно по-этому симплициальные гомологии преподают чаще, чем CW-гомологии.

Если Вас интересует мое мнение, то я уверен, что студент усвоивший сингулярные гомологии и CW гомологии не придет в смятение увидев симплициальный комплекс и сможет сам разобраться с симплициальными гомологиями, поэтому я предпочитаю дать CW-гомологии, поскольку они удобнее в вычислениях.

Так Вы считаете себя топологом -- я и не скрывал этого, взгляните хотя бы на мой юзерпик.

...те топологи, с которыми я знаком, занимаются чем-то совсем другим, и вряд ли сочтут Вас топологом -- ну что Вам сказать, топология наука разветвленная. Я далеко не всех понимаю, меня не все понимают, но чтобы не признавали топологом, до такого пока не доходило, хотя критика случалась при личных беседах.

Я бы классифицировал Вас как специалиста по прикладной теории категорий -- А Вы откуда узнали чем я занимаюсь? Вы не из милиции будете? Вы скачали мои статьи заодно с Уайтхедом и Гуревичем?

Ну а серьезно, если бы это сказал член Search Committee, то я бы принялся яростно спорить и привел бы массу аргументов, поскольку шансы получить работу у категорщика невысоки даже по сравнению с топологом. Но для нашего разговора мне это кажется несущественным.

Конечно же я тополог, поскольку решаю задачи естественно возникающие в топологии методами, в основном разработанными топологами. Конечно я пользуюсь теорией категорий, так кто ей сегодня не пользуется? Это не превращает меня в прикладного категорщика.

Написано, что симплициальные множества используются только в силу того случайного обстоятельства, что их теория к данному моменту хорошо разработана -- не совсем. Про случайность этого обстоятельства Вы домыслили сами. На самом деле это обстоятельство вовсе не случайно, а связано с тем, что симплициальные множества гораздо проще. Кроме того, Вы совершенно игнорируете тот факт, что с самого начала я указал Вам чем именно симплициальные множества (на данный момент) лучше: лемма Мура выполняется.

Как я могу агитировать за кубические множества, если я даже не владею этой техникой на техническом уровне? Мне известно ровно одно преимущество кубических множеств (оно технического характера, но если захотите, то я объясню), но оно ни разу не было реализовано, и сомневаюсь что будет реализовано когда-нибудь. Если мне встретится ситуация, где без этой техники не обойтись, то тогда придется учить кубические множества, но я к этому вовсе не стремлюсь.

[sowa.livejournal.com]

Да, я скачал и Ваши работы тоже. Парочку. Время от времени я попадаю в search committee, да и без этого участвую в обсуждении кандидатов. Служебные обязанности, ничего не поделаешь. Дискуссии о том, является ли данный кандидат, скажем, топологом, мне приходилось наблюдать. И участвовать в таких дискуссиях. Так что мои соображения основаны на опыте, а не на теоретических представлениях.

В остальном мы ходим по кругу. Даже в том, что касается леммы Мура - это какая-то техническая тонкость, которую никто не сможет объяснить коллегам в search committee.

[siyuv.livejournal.com]

Служебные обязанности, ничего не поделаешь -- но я в этом году не подаю на работу, так что вопрос о моей персональной классификации не стоит так остро.

В остальном мы ходим по кругу -- чтобы не ходить по кругу нужно вспомнить с чего мы начинали. Я рассказал Вам про гипотезу Гротендика и ее недавнее решение. Вы сказали что это интересно и на этом можно было бы завершить этот тред, но тут возник спор о роли симплексов в природе.

Вы настаиваете на их естественности, но понимаете естественность в некотором житейском смысле, а не в математическом. Этому противопоставить особенно нечего. Разумеется симплексы возникают постоянно и естественно, но это не означает, что их нельзя заменить чем-то другим. Проверять это в каждом конкретном случае не слишком интересно, хотя гипотеза Гротендика была доказана в рамках весьма содержательной теории, поскольку в большинстве случаев от этого не ожидается никакого дополнительного понимания.

Лемма Мура, при всей своей техничности, это единственное, на сегодняшний день утверждение, позволяющее говорить об особом месте симплексов. Развенчание такого статуса симплексов конечно же представляет интерес, правда исключительно философского характера. Если же его (статус) удастся укрепить, т.е. показать что лемма Мура не поддается обобщениям такого рода, то тогда последствия будут куда более значимыми и Ваша точка зрения восторжествует окончательно.

...никто не сможет объяснить коллегам в search committee -- так вопрос не стоит по причине упомянутой в начале ответа. Да и не собираюсь я заниматься этой задачей, подожду пока найдется толковый мастерант.

[sowa.livejournal.com]

Мне казалось, что мы все обсуждаем не вопрос о Вашем устройстве на работу, а вопрос о том, кого люди считают топологами.

Нет, я понимаю естественность именно в математическом смысле. Не в узком смысле функториальности, как это слово иногда используется, а в том смысле, в котором математики используют его при обсуждении теорем, доказательств, и определений.

"Разумеется симплексы возникают постоянно и естественно, но это не означает, что их нельзя заменить чем-то другим."

Это означает, что не нужно. Раз уж они, как Вы согласились, "возникают постоянно и естественно", зачем их каждый раз заменять? Это было бы очень странным занятием.