Мне кажется, что нужно следовать указаниям Квиллена. На самом деле, в категории проконечных групп достаточно проективных объектов,в их качестве можно брать свободные проконечные группы {F(X)}. Заметим, что свободные проконечные группы являются когрупповыми объектами в категории проконечных групп, т.е. симплициальное множество Hom(F(X),G)=G^X обладает групповой структурой, умножение получается из групповой структуры на G, где G-исходная симплициальная поконечная группа. Операторы граней и вырождения в Hom тоже получаются из G. Откуда замечаем, что расслоения и слабые эквивалентности, по Теореме 4 характеризуются в точности, как мы и хотели. Именно, f: X->Y является расслоением (слабой эквивалентностью) тогда и только тогда, когда Hom(P,f): Hom(P,X)->Hom(P,Y) является расслоением (слабой эквивалентностью). В категории проконечных групп бывают и другие проективные объекты, однако тут срабатывает ретракт-аргумент, т.к. ввиду проективности P может быть включена в точную последовательность P->F(X)->P.. Получилось доказать, что пара сопряжённых функторов G^ W^-, где G- функтор Кана, W^-функтор классифицирующего пространства дают слабую эквивалентность GWГ->Г для любой симплициальной проконечной группы Г в такой модельной струтуре. Собственно это мне изначально и хотелось получить. Кажется очень соблазнительным пойти дальше и попытаться ввести модельную структуру на категории редуцированных симплициальных проконечных пространств при помощи технологии-теоремы, которую я видел у Goerss, Schemmerhorn (мне кажется, что вы пишет о этой вещи), заметим, что пара сопряжённых функторов уже имеется! А да, для чего это! Идеальным результатом могло бы стать получение эквивалентности Кана для редуцированных проконечных пространств, что суть одна из целей алгебраической топологии, т.к. мы получим "алгебраическую модель" редуцированных симплициальных проконечных пространств. Мне кажется, такой результат был бы рано или поздно очень востребован в "p-adic homotopy (симплициальные группы-суть так любимая энтузиастами \infty -модель).
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2011-12-23 05:56 am (UTC)На самом деле, в категории проконечных групп достаточно проективных объектов,в их качестве можно брать свободные проконечные группы {F(X)}.
Заметим, что свободные проконечные группы являются когрупповыми объектами в категории проконечных групп, т.е. симплициальное множество Hom(F(X),G)=G^X обладает групповой структурой, умножение получается из групповой структуры на G, где G-исходная симплициальная поконечная группа. Операторы граней и вырождения в Hom тоже получаются из G. Откуда замечаем, что расслоения и слабые эквивалентности, по Теореме 4 характеризуются в точности, как мы и хотели.
Именно, f: X->Y является расслоением (слабой эквивалентностью) тогда и только тогда, когда Hom(P,f): Hom(P,X)->Hom(P,Y) является расслоением (слабой эквивалентностью). В категории проконечных групп бывают и другие проективные объекты, однако тут срабатывает ретракт-аргумент, т.к. ввиду проективности P может быть включена в точную последовательность P->F(X)->P..
Получилось доказать, что пара сопряжённых функторов G^ W^-, где G- функтор Кана, W^-функтор классифицирующего пространства дают слабую эквивалентность GWГ->Г для любой симплициальной проконечной группы Г в такой модельной струтуре. Собственно это мне изначально и хотелось получить.
Кажется очень соблазнительным пойти дальше и попытаться ввести модельную структуру на категории редуцированных симплициальных проконечных пространств при помощи технологии-теоремы, которую я видел у Goerss, Schemmerhorn (мне кажется, что вы пишет о этой вещи), заметим, что пара сопряжённых функторов уже имеется!
А да, для чего это! Идеальным результатом могло бы стать получение эквивалентности Кана для редуцированных проконечных пространств, что суть одна из целей алгебраической топологии, т.к. мы получим "алгебраическую модель" редуцированных симплициальных проконечных пространств. Мне кажется, такой результат был бы рано или поздно очень востребован в "p-adic homotopy (симплициальные группы-суть так любимая энтузиастами \infty -модель).