Я никогда не меняю вселенную

Расслоения Гуревича, корасслоения и настоящие гомотопические эквивалентности являются центральными понятиями теории гомотопий -- с этим было бы странно спорить, но как Вы совершенно справедливо заметили все основные взаимосвязи между этими понятиями были установлены задолго до Строма и в наши дни практически не изучаются, хотя конечно используются (в основном геометрическими топологами). Сами же статьи устанавливающие существование модельной категории невелики по объему и не содержат новых методов. Основная трудность возникающая при чтении состоит в том, что автор ссылается на очень старые работы, а Мэй намекнул, что некоторые ссылки возможно неверны. Я поговорил об этом с несколькими людьми (кажется с Двайером тоже) и никто мне не мог с уверенностью сказать, что нападки Мэя беспочвенны.

Так или иначе, но пересмотреть работу Строма стоило давно, и по-видимому студент Мэя это сделал (компактная порожденность для пространств это не существенное ограничение). Если бы он выложил свой препринт 5 лет назад, то я бы с удовольствием его прочитал, а так я наткнулся на его статью только когда искал ссылки для ответа Вам, но интерес мой к этой теме давно прошел.

С Вашего позволения, я уклонюсь от обсуждения морально-этической стороны поступков Мэя. Он обладает достаточным влиянием, хоть и не столь громадным как Вы пишете, а у меня пока даже постоянства нет. Справедливости ради следует отметить, что никто из топологов не трудоустроил такое количество пост-доков как он.

я бы предложил такие категории называть по названию используемых расслоений -- не годится, Коул как раз и показал, что можно совместить расслоения Гуревича со слабыми эквивалентностями. Можно попробовать называть их по эквивалентностям, соответственно "сильной" и "слабой", но за Квиленовской категорией прочно укоренилось наименование "стандартная".

Приведенный Вами пример с безусловно интересной статьей Dwyer-Weiss-Williams я не могу принять в качестве существенного использования сильной модельной категории. Проверить наличие структуры Вальдхаузена на порядок проще, чем установить существование модельной категории (нет факторизаций), кроме того они ограничивают рассмотрение пространствами гомотопически эквивалентными CW-комплексам, короче ссылка на Строма чисто формальная, призванная показать то, что и так очевидно (тривиальную часть аксиом модельной категории).

Я попытаюсь объяснить что я имею в виду под приложением для модельной категории. Это должна быть одна из тех вещей, для которых модельные категории действительно полезны. Например вычисление гомотопических пределов (для этого хорошо бы уметь продолжать модельную структуру на категорию диаграмм пространств), или для классификации/построения гомологических инвариантов (хорошо бы построить стабилизацию сильной модельной категории) и научиться локализовать по отношению к ним или по отношению к произвольным морфизмам. Ничего этого нет даже после работы Коула. Именно поэтому я так удивился, что Вы упомянули сильную категорию.

Интересно, есть ли модельная категория, в которой расслоениями являются расслоения Дольда? -- вполне естественный вопрос. Если бы категория Строма была изучена лучше, наверное на него не сложно было бы ответить. (Есть препринт Тибора Беке, в котором он строит много модельных категорий на симплициальных множествах варьируя расслоения и корасслоения, а эквивалентности оставляя без изменений; наверняка что-то подобное можно сделать и для пространств).

Мне кажется, что использование модельной категории Серра (используя предложенную терминологию) как минимум не очень элегантно -- оно оправдано уже тем, что эта категория оказывается эквивалентной (по Квиллену) симплициальным множествам, и хотя гомотопические топологи как правило предпочитают работать симплициально, слабая структура на пространствах важна, т.к. в ней все объекты фибрантны, а это часто бывает полезно.

многие слабые гомотопические эквивалентности на самом деле являются настоящими -- если между CW-комплексами, то это старший Вайтхед.