![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Модельная категория Строма
На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
no subject
В остальном мы ходим по кругу. Даже в том, что касается леммы Мура - это какая-то техническая тонкость, которую никто не сможет объяснить коллегам в search committee.
no subject
-- чтобы не ходить по кругу нужно вспомнить с чего мы начинали. Я рассказал Вам про гипотезу Гротендика и ее недавнее решение. Вы сказали что это интересно и на этом можно было бы завершить этот тред, но тут возник спор о роли симплексов в природе.
Вы настаиваете на их естественности, но понимаете естественность в некотором житейском смысле, а не в математическом. Этому противопоставить особенно нечего. Разумеется симплексы возникают постоянно и естественно, но это не означает, что их нельзя заменить чем-то другим. Проверять это в каждом конкретном случае не слишком интересно, хотя гипотеза Гротендика была доказана в рамках весьма содержательной теории, поскольку в большинстве случаев от этого не ожидается никакого дополнительного понимания.
Лемма Мура, при всей своей техничности, это единственное, на сегодняшний день утверждение, позволяющее говорить об особом месте симплексов. Развенчание такого статуса симплексов конечно же представляет интерес, правда исключительно философского характера. Если же его (статус) удастся укрепить, т.е. показать что лемма Мура не поддается обобщениям такого рода, то тогда последствия будут куда более значимыми и Ваша точка зрения восторжествует окончательно.
-- так вопрос не стоит по причине упомянутой в начале ответа. Да и не собираюсь я заниматься этой задачей, подожду пока найдется толковый мастерант.
no subject
Нет, я понимаю естественность именно в математическом смысле. Не в узком смысле функториальности, как это слово иногда используется, а в том смысле, в котором математики используют его при обсуждении теорем, доказательств, и определений.
"Разумеется симплексы возникают постоянно и естественно, но это не означает, что их нельзя заменить чем-то другим."
Это означает, что не нужно. Раз уж они, как Вы согласились, "возникают постоянно и естественно", зачем их каждый раз заменять? Это было бы очень странным занятием.