siyuv: (Default)
[personal profile] siyuv
Пришел ко мне вчера студент (любимый, надо сказать) и попросил рассказать о классифицирующих пространствах и о том что именно они классифицируют. Ну, думаю, настало время опробовать программу dmitri_pavlov@ljr. Нет, ну я конечно не садист какой, рассказал ему сначала про конструкцию Милнора, обсудили почему стягивается и т.д.

А потом говорю, -- Забудь, это все в 50-х осталось, мы теперь по другому мыслим, бескоординатно.


Берем произвольную топологическую группу G, вводим наивную (проективную, поуровневую) модельную категорию на G-пространствах. Тогда EG это просто кофибрантная аппроксимация точки, а BG соответственно ее пространство орбит. Что же будем классифицировать? Разумеется главные расслоения, которые в нашей модели будут представлены кофибрантными объектами (G-CW-комплексами и их ретрактами). Хорошо бы это как-нибудь доказать, но это уж пусть те кто все еще в координатах мыслят мучаются. Мы тут высокой наукой заниматься будем.

Oтображение главного расслоения (G-CW-комплекса) X в универсальное EG строится за даром при помощи подъема в квадратике где слева стоит корасслоение ∅ ↪ X, а справа тривиальное расслоение EG ↠ ∗.

Остается понять почему гомотопные отображения f и g из базового пространства B в BG индуцируют изоморфные главные расслоения над B. Это проверяется при помощи отображений между Ef и Eg , которые строятся с использованием промежуточного главного раслоения Eh над B×[0;1], где h гомотопия между f и g. Попутно устанавливается, что построенные отображения a: Ef → Eg и b: Eg → Ef оказываются тривиальными расслоениями как ретракты тривиальных расслоений a': Eh → Eg и b': Eh → Ef , которые в свою очередь являются тривиальными расслоениями как пуллбэки (кстати, как это по русски?) тривиального расслоения p: B×[0,1] → B вдоль отображений факторизации по действию группы на главных расслоениях Ef и Eg. Теперь нужно проверить, что a и b обратимы. Это мы будем проверять только для CW-комплексов в качестве базовых пространств. А для CW-комплексов легко понять, что пуллбэк поднимает клеточную структуру до G-CW (он коммутирует с фильтрованным копределом, а для каждой отдельной клеточки это непосредственно видно), т.е. Ef , Eg G-CW-комплексы, а значит кофибрантны, иначе, главные расслоения в нашей терминологии. После этого можно убедиться в существовании обратной стрелочки, скажем к a, посмотрев на коммутативный квадратик с a стоящим справа, ∅ ↪ Eg слева и тождественным отображением внизу. Из вышесказанного следует, что подъем существует. Q.E.D.


К концу изложения мой студент начал заметно клевать носом, но это наверное от жары.
This account has disabled anonymous posting.
If you don't have an account you can create one now.
HTML doesn't work in the subject.
More info about formatting

Profile

siyuv: (Default)
siyuv

June 2024

S M T W T F S
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 29
30      

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 11th, 2025 07:40 pm
Powered by Dreamwidth Studios