![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
siyuvПришел ко мне вчера студент (любимый, надо сказать) и попросил рассказать о классифицирующих пространствах и о том что именно они классифицируют. Ну, думаю, настало время опробовать программу dmitri_pavlov@ljr. Нет, ну я конечно не садист какой, рассказал ему сначала про конструкцию Милнора, обсудили почему стягивается и т.д.
А потом говорю, -- Забудь, это все в 50-х осталось, мы теперь по другому мыслим, бескоординатно.
Берем произвольную топологическую группу G, вводим наивную (проективную, поуровневую) модельную категорию на G-пространствах. Тогда EG это просто кофибрантная аппроксимация точки, а BG соответственно ее пространство орбит. Что же будем классифицировать? Разумеется главные расслоения, которые в нашей модели будут представлены кофибрантными объектами (G-CW-комплексами и их ретрактами). Хорошо бы это как-нибудь доказать, но это уж пусть те кто все еще в координатах мыслят мучаются. Мы тут высокой наукой заниматься будем.
Oтображение главного расслоения (G-CW-комплекса) X в универсальное EG строится за даром при помощи подъема в квадратике где слева стоит корасслоение ∅ ↪ X, а справа тривиальное расслоение EG ↠ ∗.
Остается понять почему гомотопные отображения f и g из базового пространства B в BG индуцируют изоморфные главные расслоения над B. Это проверяется при помощи отображений между Ef и Eg , которые строятся с использованием промежуточного главного раслоения Eh над B×[0;1], где h гомотопия между f и g. Попутно устанавливается, что построенные отображения a: Ef → Eg и b: Eg → Ef оказываются тривиальными расслоениями как ретракты тривиальных расслоений a': Eh → Eg и b': Eh → Ef , которые в свою очередь являются тривиальными расслоениями как пуллбэки (кстати, как это по русски?) тривиального расслоения p: B×[0,1] → B вдоль отображений факторизации по действию группы на главных расслоениях Ef и Eg. Теперь нужно проверить, что a и b обратимы. Это мы будем проверять только для CW-комплексов в качестве базовых пространств. А для CW-комплексов легко понять, что пуллбэк поднимает клеточную структуру до G-CW (он коммутирует с фильтрованным копределом, а для каждой отдельной клеточки это непосредственно видно), т.е. Ef , Eg G-CW-комплексы, а значит кофибрантны, иначе, главные расслоения в нашей терминологии. После этого можно убедиться в существовании обратной стрелочки, скажем к a, посмотрев на коммутативный квадратик с a стоящим справа, ∅ ↪ Eg слева и тождественным отображением внизу. Из вышесказанного следует, что подъем существует. Q.E.D.
К концу изложения мой студент начал заметно клевать носом, но это наверное от жары.
А потом говорю, -- Забудь, это все в 50-х осталось, мы теперь по другому мыслим, бескоординатно.
Берем произвольную топологическую группу G, вводим наивную (проективную, поуровневую) модельную категорию на G-пространствах. Тогда EG это просто кофибрантная аппроксимация точки, а BG соответственно ее пространство орбит. Что же будем классифицировать? Разумеется главные расслоения, которые в нашей модели будут представлены кофибрантными объектами (G-CW-комплексами и их ретрактами). Хорошо бы это как-нибудь доказать, но это уж пусть те кто все еще в координатах мыслят мучаются. Мы тут высокой наукой заниматься будем.
Oтображение главного расслоения (G-CW-комплекса) X в универсальное EG строится за даром при помощи подъема в квадратике где слева стоит корасслоение ∅ ↪ X, а справа тривиальное расслоение EG ↠ ∗.
Остается понять почему гомотопные отображения f и g из базового пространства B в BG индуцируют изоморфные главные расслоения над B. Это проверяется при помощи отображений между Ef и Eg , которые строятся с использованием промежуточного главного раслоения Eh над B×[0;1], где h гомотопия между f и g. Попутно устанавливается, что построенные отображения a: Ef → Eg и b: Eg → Ef оказываются тривиальными расслоениями как ретракты тривиальных расслоений a': Eh → Eg и b': Eh → Ef , которые в свою очередь являются тривиальными расслоениями как пуллбэки (кстати, как это по русски?) тривиального расслоения p: B×[0,1] → B вдоль отображений факторизации по действию группы на главных расслоениях Ef и Eg. Теперь нужно проверить, что a и b обратимы. Это мы будем проверять только для CW-комплексов в качестве базовых пространств. А для CW-комплексов легко понять, что пуллбэк поднимает клеточную структуру до G-CW (он коммутирует с фильтрованным копределом, а для каждой отдельной клеточки это непосредственно видно), т.е. Ef , Eg G-CW-комплексы, а значит кофибрантны, иначе, главные расслоения в нашей терминологии. После этого можно убедиться в существовании обратной стрелочки, скажем к a, посмотрев на коммутативный квадратик с a стоящим справа, ∅ ↪ Eg слева и тождественным отображением внизу. Из вышесказанного следует, что подъем существует. Q.E.D.
К концу изложения мой студент начал заметно клевать носом, но это наверное от жары.
