![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
siyuvПришел ко мне вчера студент (любимый, надо сказать) и попросил рассказать о классифицирующих пространствах и о том что именно они классифицируют. Ну, думаю, настало время опробовать программу dmitri_pavlov@ljr. Нет, ну я конечно не садист какой, рассказал ему сначала про конструкцию Милнора, обсудили почему стягивается и т.д.
А потом говорю, -- Забудь, это все в 50-х осталось, мы теперь по другому мыслим, бескоординатно.
Берем произвольную топологическую группу G, вводим наивную (проективную, поуровневую) модельную категорию на G-пространствах. Тогда EG это просто кофибрантная аппроксимация точки, а BG соответственно ее пространство орбит. Что же будем классифицировать? Разумеется главные расслоения, которые в нашей модели будут представлены кофибрантными объектами (G-CW-комплексами и их ретрактами). Хорошо бы это как-нибудь доказать, но это уж пусть те кто все еще в координатах мыслят мучаются. Мы тут высокой наукой заниматься будем.
Oтображение главного расслоения (G-CW-комплекса) X в универсальное EG строится за даром при помощи подъема в квадратике где слева стоит корасслоение ∅ ↪ X, а справа тривиальное расслоение EG ↠ ∗.
Остается понять почему гомотопные отображения f и g из базового пространства B в BG индуцируют изоморфные главные расслоения над B. Это проверяется при помощи отображений между Ef и Eg , которые строятся с использованием промежуточного главного раслоения Eh над B×[0;1], где h гомотопия между f и g. Попутно устанавливается, что построенные отображения a: Ef → Eg и b: Eg → Ef оказываются тривиальными расслоениями как ретракты тривиальных расслоений a': Eh → Eg и b': Eh → Ef , которые в свою очередь являются тривиальными расслоениями как пуллбэки (кстати, как это по русски?) тривиального расслоения p: B×[0,1] → B вдоль отображений факторизации по действию группы на главных расслоениях Ef и Eg. Теперь нужно проверить, что a и b обратимы. Это мы будем проверять только для CW-комплексов в качестве базовых пространств. А для CW-комплексов легко понять, что пуллбэк поднимает клеточную структуру до G-CW (он коммутирует с фильтрованным копределом, а для каждой отдельной клеточки это непосредственно видно), т.е. Ef , Eg G-CW-комплексы, а значит кофибрантны, иначе, главные расслоения в нашей терминологии. После этого можно убедиться в существовании обратной стрелочки, скажем к a, посмотрев на коммутативный квадратик с a стоящим справа, ∅ ↪ Eg слева и тождественным отображением внизу. Из вышесказанного следует, что подъем существует. Q.E.D.
К концу изложения мой студент начал заметно клевать носом, но это наверное от жары.
А потом говорю, -- Забудь, это все в 50-х осталось, мы теперь по другому мыслим, бескоординатно.
Берем произвольную топологическую группу G, вводим наивную (проективную, поуровневую) модельную категорию на G-пространствах. Тогда EG это просто кофибрантная аппроксимация точки, а BG соответственно ее пространство орбит. Что же будем классифицировать? Разумеется главные расслоения, которые в нашей модели будут представлены кофибрантными объектами (G-CW-комплексами и их ретрактами). Хорошо бы это как-нибудь доказать, но это уж пусть те кто все еще в координатах мыслят мучаются. Мы тут высокой наукой заниматься будем.
Oтображение главного расслоения (G-CW-комплекса) X в универсальное EG строится за даром при помощи подъема в квадратике где слева стоит корасслоение ∅ ↪ X, а справа тривиальное расслоение EG ↠ ∗.
Остается понять почему гомотопные отображения f и g из базового пространства B в BG индуцируют изоморфные главные расслоения над B. Это проверяется при помощи отображений между Ef и Eg , которые строятся с использованием промежуточного главного раслоения Eh над B×[0;1], где h гомотопия между f и g. Попутно устанавливается, что построенные отображения a: Ef → Eg и b: Eg → Ef оказываются тривиальными расслоениями как ретракты тривиальных расслоений a': Eh → Eg и b': Eh → Ef , которые в свою очередь являются тривиальными расслоениями как пуллбэки (кстати, как это по русски?) тривиального расслоения p: B×[0,1] → B вдоль отображений факторизации по действию группы на главных расслоениях Ef и Eg. Теперь нужно проверить, что a и b обратимы. Это мы будем проверять только для CW-комплексов в качестве базовых пространств. А для CW-комплексов легко понять, что пуллбэк поднимает клеточную структуру до G-CW (он коммутирует с фильтрованным копределом, а для каждой отдельной клеточки это непосредственно видно), т.е. Ef , Eg G-CW-комплексы, а значит кофибрантны, иначе, главные расслоения в нашей терминологии. После этого можно убедиться в существовании обратной стрелочки, скажем к a, посмотрев на коммутативный квадратик с a стоящим справа, ∅ ↪ Eg слева и тождественным отображением внизу. Из вышесказанного следует, что подъем существует. Q.E.D.
К концу изложения мой студент начал заметно клевать носом, но это наверное от жары.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-01-30 07:18 am (UTC)А что в данном случае имеется ввиду под проективной и поуровневой модельной структурой?
>тривиальных расслоений p_0 , p_1: B×[0,1] → B
А чем отличаются p_0 и p_1?
no subject
Date: 2009-01-30 12:27 pm (UTC)-- видимо ничем. Я подправил текст.
Off-topic
Date: 2009-02-02 01:06 am (UTC)Re: Off-topic
Date: 2009-02-02 01:29 am (UTC)Re: Off-topic
Date: 2009-02-02 01:59 am (UTC)Re: Off-topic
Date: 2009-02-02 02:24 am (UTC)Re: Off-topic
Date: 2009-02-02 01:58 am (UTC)Re: Off-topic
Date: 2009-02-02 02:23 am (UTC)Re: Off-topic
Date: 2009-02-02 03:39 am (UTC)Re: offtopic
Date: 2009-02-03 03:14 am (UTC)Re: offtopic
Date: 2009-02-03 06:16 am (UTC)мне не видно, например.
в любом случае -- новых достижений и радостей.
Re: offtopic
Date: 2009-02-03 06:37 am (UTC)Re: offtopic
Date: 2009-02-04 03:15 pm (UTC)мне вспомнился наш поход в Чикагский институт искусств и звонок М.,
"в ожидании Г."
Re: offtopic
Date: 2009-02-04 03:19 pm (UTC)Если ты решил предаваться воспоминаниям на личные темы, то лучше это делать под замком.
Re: offtopic
Date: 2009-02-05 01:43 am (UTC)feel free to screen or delete anything or everything.
Re: offtopic
Date: 2009-02-06 01:08 pm (UTC)no subject
Date: 2011-12-19 05:07 pm (UTC)В координатах веселее как-то ;-)
А что значит "поуровневые слабые эквивалентности и расслоения"?
no subject
Date: 2011-12-23 05:57 am (UTC)В данном случае поуровневые слабые эквивалентности означает, что эквивариантное отображение является обычной слабой эквивалентностью.
no subject
Date: 2011-12-23 06:12 am (UTC)