![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Модельная категория Строма
На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
no subject
Мне известен только один контекст, в котором симплексы появляются "естественно". Это комбинаторное описание полиэдров при помощи симплициальных комплексов. Топологи давно отказались от него из-за чудовищных категорных свойств, но комбинаторики, в особенности алгебраические, продолжают использовать, приводя даже топологические аргументы, которые не всегда просто перевести на язык симплициальных множеств, хотя такой перевод добавляет понимания.
no subject
С моей точки зрения, то, что что-то можно делать иначе, не имеет к нему никакого отношения.
Симплексы появились естественно в теории гомологий. То, что произведение кубов является кубом, известно давно, и даже использовалось, но то, что за почти 60 лет это не привело к распространению кубов, на мой взгляд, кое-то о них говорит.
no subject
no subject
Кубы появились в теории гомологии - и исчезли. Для меня это свидетельство того, что они неестественны. То, что и симплексы, и кубы, и еще что-то удовлетворяют некоторому набору аксиом, никак не может означать, что симплексы "ничем не лучше". Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать. Есть масса конструкций, которые ведут к каноническому разбиению на симплексы полезных пространств. И я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба.
Любопытно, что меня уже не в первый раз принимают за специалиста по алгебраической комбинаторике. Правда, раньше принимали за вполне конкретного.
no subject
-- может быть, но этот эффект не измерить. На одном семинаре по комбинаторике меня позабавило, что докладчик все время говорил про джойны симплициальных комплексов, но ни разу не упомянул про их произведение. В какой-то момент я спросил почему бы не воспользоваться произведением? На что получил ответ, что оно не определено. Я попытался объяснить, что можно перемножить пространства, а потом взять какое-нибудь разбиение на симплексы, и что с джойном по сути происходит тоже самое, но тут меня спросили что такое джойн топологических пространств... Вобщем стало понятно, что у нас отсутствует достаточная общая база для конструктивного обсуждения. Не от излишнего ли увлечения симплексами это произошло?
-- скорее всего такая конструкция Вам пока была не нужна. Не думаю что возникли бы сложности с ее построением, понадобись она кому-нибудь. Например аналог сингулярного функтора в кубическом случае имеется.
no subject
"...может быть, но этот эффект не измерить."
Очень даже можно. Сколько работ используют симплициальные множества и "симплициальные комплексы" (в классическом смысле), и сколько - кубы?
Если кто-то не знает, как триангулируется произведение двух симплексов - это значит только то, что он плохо учился.
Про сингулярные кубические гомологии я знаю. Я не знаю естественно возникающего пространства с естественным разбиением на кубы.
no subject
-- никто и не спорит с тем что симплексы на сегодняшний день гораздо более популярны, но чтобы показать, что они чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще, нужно представить какой-то метод/принцип/урверждение верное/применимое для симплексов и неприменимое к чему бы то ни было еще. У леммы Мура есть потенциал стать таким утверждением.
- я что-то перестал понимать о чем вы говорите. Приведите пожалуйста пример "естественного" разбиения на симплексы какого-нибудь пространства.
- нет, области настолько далеко разошлись, что современные комбинаторики часто вовсе не знают алгебраической топологии, а современные топологи понятия не имеют о классических симплициальных комплексах, равно как и об операциях над ними. Мало кто из топологов знает, например, что такое алгебраический сдвиг.
no subject
no subject
С точки зрения топологии это некий оператор на симплициальных комплексах, всегда выдающий букет сфер (или даже окружностей, не помню точно) на выходе. Интересно что он "идемпотентен", т.е. повторное применение ничего не меняет. Этим он напоминает многие важные конструкции в топологии под общим названием локализации (например сечение Постникова). Существенное отличие: никакой функториальности. Я тогда пытался придумать как бы вписать эту конструкцию в общую картину, но ничего не надумал. Сейчас, правда, появились примеры нефункториальных локализаций. Наверное стоит снова взглянуть на алгебраический сдвиг.
no subject
Заглянула в обзорную статью -- что-то это не очень интересно, не возникает желания знакомиться...
А что такое k-set? Они там появляются почти в самом начале, без определения.
no subject
-- я не пытался Вас сагитировать. Ссылку на обзорную статью дал только потому, что не смог быстро вычленить определение. Понадеялся на Вас.
no subject
no subject
no subject
no subject
-- я тоже не добрался, поэтому и дал ссылку.
no subject
no subject
"чтобы показать, что они чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще, нужно представить какой-то метод/принцип/урверждение верное/применимое для симплексов и неприменимое к чему бы то ни было еще."
Нет. Burden of proof на другой стороне. Имеется полезная и удобная теория, с массой разнообразных приложений. Если некто утверждает, что другая теория лучше, он должен это продемонстрировать. Решить какую-нибудь знаменитую проблему с помощью кубов, да еще доказать, что решение не переводится на язык симплексов.
"Приведите пожалуйста пример "естественного" разбиения на симплексы какого-нибудь пространства."
Билдинги Титса, например. Нерв любой категории является симплициальным множеством, в частности, BG = K(G,1), где G - дискретная группа.
" нет, области настолько далеко разошлись"
Какие области далеко разошлись? Комбинаторика и топология? Они раньше совсем не взаимодействовали. И речь идет об элементарном факте.
Мы возрващаемся к проблеме, о которой уже шла речь. Доступ к теории симплициальных множеств сильно затруднен отсутствием доступных для чтения изложений, и черезмерной абстрактностью современных изложений. Черезмерной не в том смысле, что она кому-то трудна, а в том, что она неадекватна предмету. Ваша агитация за замену симплексов "почти чем угодно" это прекрасно иллюстрирует.
no subject
-- понятно, а как показать что кубы не хуже симплексов?
-- это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу.
-- кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина).
-- ни раньше, не сегодня особого взаимодействия нет. Речь идет о том, что комбинаторика заинтересовалась симплициальными комплексами, в то время как топология от них отказалась, перейдя на смплициальные множества. Науки развиваются в разных направлениях и понимать друг друга все сложнее и сложнее.
-- этот факт элементарен когда нужно триангулировать произведение топологических симплексов, а если нужно определить произведение симплициальных комплексов, то встает вопрос о выборе "естественной" триангуляции. Я не знаю хорошего решения. А Вы? Для джойна комплексов такая триангуляция имеется (объединение симплексов). С точки зрения тополога в ней нет ничего естественного, но простота определения подкупает.
-- неужели Вы настолько превратно меня поняли, или намеренно иронизируете?
no subject
А зачем? Если они не лучше, а симплексами мы уже давно освоились, то стоит ли плодить сущности без необходимости?
"это абстрактные симплициальные комплексы, а не симплициальные множества. Не знаю имеются ли кубические комплексы, но если удастся их определить, то наверное несложно будет определить кубические билдинги. По-крайней мере ничего специфически симплициального я в их определении не вижу."
Вы спрашивали о естественно возникающих разбиениях пространств на симплексы, а не о симплициальных множествах. Но, я думаю, вы знаете, как состряпать из симплициального комплекса симплициальное множество. Особенно в том случае, когда на вершинах есть канонический порядок.
" кубический нерв его с успехом заменяет, и определение тоже самое (посмотрите в лекции Жардина)."
А зачем его заменять, когда они сразу получаются как симплициальные множества, и эта конструкция связана с другими полезными конструкциями? Определение, конечно, не то же самое.
"ни раньше, не сегодня особого взаимодействия нет. Речь идет о том, что комбинаторика заинтересовалась симплициальными комплексами, в то время как топология от них отказалась, перейдя на смплициальные множества."
Во, а люди-то и не знают. И топологи зачем-то преподают симплициальные комплексы в базовых курсах.
"С точки зрения тополога в ней нет ничего естественного, но простота определения подкупает."
И где вы берете таких топологов? Впрочем, Вы иначе понимаете предмет топологии, нежели я, и, видимо, мои знакомые топологи по-вашему топологами не являются.
"неужели Вы настолько превратно меня поняли"
Понял, как написано.
no subject
-- а Вы привели мне пример реализации абстрактного симплициального комплекса, так реализация любого симплициального комплекса будет разбита на симплексы, тут не требуется конкретизация, равно как и реализация любого кубического множества будет разбита на кубы.
-- незачем.
-- что значит сразу? Надо сначала определить. Можно определять как симплициальное множество, а можно как кубическое.
-- с точностью до замены симплексов на кубики. Хотя я не уверен что Вы считаете определением. Я имею ввиду следующее: n-мерные симплексы это все функторы из ординала [n-1] в данную категорию.
-- Я имел ввиду увеличивающийся разрыв между комбинаторикой абстрактных симплициальных комплексов и гомотопической топологией. Насколько я знаю, в комбинаторике активно используются достижения топологии 50х годов. Мне не известно использование в топологии результатов из комбинаторики абстрактных симплициальных множеств.
Я не претендую на абсолютное знание ни в этой, ни в какой-либо другой области. Если Вы знаете примеры интересного взаимного влияния, то расскажите пожалуйста, а не ерничайте.
-- преподают топологические симплициальные комплексы, абстрактные не преподают. Не надо путать.
-- я говорю только от своего лица.
-- не спешите решать за меня. Даже то что я пишу Вы порой понимаете с точностью до наоборот.
-- написано ровно противоположное. Перечитайте пожалуйста.
no subject
Мы как-то воду с ступе толчем по следующему вопросу. Я Вам привел примеры исключительно полезных симплициальных комплексов, таких, как билдинги Титса. Вы не привели ни одного примера полезного кубического комплекса, кроме работы Матвеева-Поляка, которая просто переизлагает всем известные вещи.
Исходное определение (кстати, Гротендика) нерва категории немного более прямое. Разумеется, оно эквивалентно определению через функторы, но оно интуитивнее и напрямую связано с такими полезными вещами, как стандартные резольвенты.
При чем тут использование результатов комбинаторики в топологии? Симплициальные комплексы входят в любой вводный курс топологии. Мне трудно думать, что топологи так преподают по тупости, или незнанию каких-то современных идей.
""И где вы берете таких топологов?" -- я говорю только от своего лица."
А! Так Вы считаете себя топологом, и ту область, которой Вы занимаетесь - топологией! Наверное, это почти все объясняет. Действительно, те топологи, с которыми я знаком, занимаются чем-то совсем другим, и вряд ли сочтут Вас топологом. Я бы классифицировал Вас как специалиста по прикладной теории категорий.
Да нет, написано не противоположное. Написано, что симплициальные множества используются только в силу того случайного обстоятельства, что их теория к данному моменту хорошо разработана. А так - остальные ничем не хуже, и за кубический вариант Вы определенно агитируете.
no subject
-- больше не буду, но конкретно эту его гипотезу, а также ее решение я считаю важным концептуальным шагом на пути к пониманию математического космоса. Практических последствий от этого не ожидаю.
-- видимо в том смысле, в котором вы это понимаете таких примеров нет. Я не преследовал цель убедить Вас в полезности кубических комплексов, а всего лишь привел контр-аргумент к Вашему утверждению, что они исчезли из математики.
-- совершенно не при чем, это был ответ на Вашу реплику: "Во, а люди-то и не знают".
-- повторяю: топологические входят (не в любой -- в Фоменко-Фуксе нету), абстрактные не входят ни в какой (в частности, Хатчер посвящает им один абзац).
-- нет конечно, причина гораздо более прозаична, при преподавании симплициальных комплексов возникает некоторое пересечение (идейное и с точки зрения обозначений) с сингулярными гомологиями, которую по-любому надо дать, поэтому с педагогической точки зрения симплициальные комплексы выгоднее чем CW. Именно по-этому симплициальные гомологии преподают чаще, чем CW-гомологии.
Если Вас интересует мое мнение, то я уверен, что студент усвоивший сингулярные гомологии и CW гомологии не придет в смятение увидев симплициальный комплекс и сможет сам разобраться с симплициальными гомологиями, поэтому я предпочитаю дать CW-гомологии, поскольку они удобнее в вычислениях.
-- я и не скрывал этого, взгляните хотя бы на мой юзерпик.
-- ну что Вам сказать, топология наука разветвленная. Я далеко не всех понимаю, меня не все понимают, но чтобы не признавали топологом, до такого пока не доходило, хотя критика случалась при личных беседах.
-- А Вы откуда узнали чем я занимаюсь? Вы не из милиции будете? Вы скачали мои статьи заодно с Уайтхедом и Гуревичем?
Ну а серьезно, если бы это сказал член Search Committee, то я бы принялся яростно спорить и привел бы массу аргументов, поскольку шансы получить работу у категорщика невысоки даже по сравнению с топологом. Но для нашего разговора мне это кажется несущественным.
Конечно же я тополог, поскольку решаю задачи естественно возникающие в топологии методами, в основном разработанными топологами. Конечно я пользуюсь теорией категорий, так кто ей сегодня не пользуется? Это не превращает меня в прикладного категорщика.
-- не совсем. Про случайность этого обстоятельства Вы домыслили сами. На самом деле это обстоятельство вовсе не случайно, а связано с тем, что симплициальные множества гораздо проще. Кроме того, Вы совершенно игнорируете тот факт, что с самого начала я указал Вам чем именно симплициальные множества (на данный момент) лучше: лемма Мура выполняется.
Как я могу агитировать за кубические множества, если я даже не владею этой техникой на техническом уровне? Мне известно ровно одно преимущество кубических множеств (оно технического характера, но если захотите, то я объясню), но оно ни разу не было реализовано, и сомневаюсь что будет реализовано когда-нибудь. Если мне встретится ситуация, где без этой техники не обойтись, то тогда придется учить кубические множества, но я к этому вовсе не стремлюсь.
no subject
В остальном мы ходим по кругу. Даже в том, что касается леммы Мура - это какая-то техническая тонкость, которую никто не сможет объяснить коллегам в search committee.
(no subject)
(no subject)
no subject
--------------------- \ | / \ | / \ | / \ / \ / \ / \ / \/ \/ \ / \ / \ / VБолее общо, n-мерный симплекс можно разбить на (n+1) n-мерный куб.
no subject