Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[sowa.livejournal.com]

Мало ли чего Квиллен доказал спустя 35 лет после Хопфа. Проблема инварината Хопфа была поставлена как задача об отображениях сфер в сферы. Да и решена она была до работы Квиллена. Вы бы еще сказали, что Ньютон решал задачи про интеграл Лебега.

""А работу Уайтхеда Вы смотрели?" -- нет, а зачем? Она пересказана десятки раз."

Ну вот видите! Вы мне излагаете какие-то недавние представления, сложившиеся у весьма узкой группы людей. А я смотрел все упомянутые в этой дискуссии работы. Вы даете ссылку - я нахожу работу, скачиваю, смотрю, что там написано. И Серра, и Уайтхеда.

Аргумент никудышный. Работы Серра и Уайтхеда принадлежат различным традициям, и никакой революции вместе не образуют. Работа Серра действительно революционна, а работа Уайтхеда разрабатывает технические средства.

Что касается пунктов программы, то я Вам уже ответил на это поводу Постникова - в начале приходится давать такие "псевдо-объяснения", поскольку у студентов еще нет знаний, чтобы понять настоящие.

"Предмет это не то чем область занимается, а то что ее ограничивает."

Области не надо ограничивать. Они это плохо переносят. Ограниченная область - кандидат на мертвую науку.

Никаких оценок я от Вас не требую. Первый раз в жизни встречаю человека, который отказывается рассказать, что в его науке интересного.

[siyuv.livejournal.com]

Мало ли чего Квиллен доказал спустя 35 лет после Хопфа -- да нет, он это только обобщил и красиво записал. Я уверен, что и раньше было понятно, что слабые эквивалентности определяют гомотопическую категорию.

Вы бы еще сказали, что Ньютон решал задачи про интеграл Лебега -- не скажу, поскольку Ньютон не пользовался теорией меры, но если вы скажете, что Адамс не пользовался CW-комплексами, слабыми эквивалентностями и расслоениями Серра, то он наверное в гробу перевернется.

...сложившиеся у весьма узкой группы людей -- но ведь людей размышлявших именно над этими вопросами.

я смотрел все упомянутые в этой дискуссии работы -- видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы.

...никакой революции вместе не образуют -- мне казалось, что для того чтобы понять связь между этими работами достаточно понимать стандартную модельную категорию для пространств, а Вы вроде бы понимаете. Но оставим модельные категории. Возьмите любой современный учебник по алгебраической топологии. Хотя бы тот же Фоменко-Фукс. В нем рассказывается и про корасслоения Борсука, и про расслоения Гуревича, но со временем выясняется, что первые были нужны только для того, чтобы показать, что относительные CW-комплексы являются парами Борсука, а вторые нужны только для того, чтобы пояснить почему расслоения Серра вообще называются расслоениями. После этого остаются только CW-комплексы и расслоения Серра. Очевидно, что это не случайность.

Работа Серра действительно революционна, а работа Уайтхеда разрабатывает технические средства -- но работу Уайтхеда никак нельзя назвать недооцененной. Она была опубликована в хорошем журнале и вошла во все книжки по алгебраической топологии. Она в высшей степени концептуальна (говорю это не потому, что читал работу, а потому, что знаю какие концепции там представлены). О ее техничности судить не берусь, поскольку не читал, а в пересказе технику наверняка причесали.

Что касается пунктов программы, то я Вам уже ответил на это поводу Постникова -- по-поводу Постникова Вы сослались на тяжелую задачу написания предисловия, хотя Постников писал не предисловие, а ознакомительную статью, целью которой ставилось объяснить чем занимаются различные разделы топологии. Но допустим он прибег к такому приему вынуждено. Этого никак нельзя сказать про лектора, который выносит отдельным пунктом программы "Предмет гомотопической топологии". Приходиться предположить, что то о чем он там собирается рассказывать, он и в самом деле считает предметом этой науки.

Области не надо ограничивать -- однако очевидно, что на практике это делается, хотя бы для того, чтобы отличать одну область от другой.

Ограниченная область - кандидат на мертвую науку -- вот это меня удивило. Вообще-то всему когда-нибудь приходит конец. Все живущие кандидаты в покойники. Математические дисциплины не исключение. Если предмет себя исчерпал, то разумеется область умирает.

Первый раз в жизни встречаю человека, который отказывается рассказать, что в его науке интересного. -- Вы правы, я устыдился и исправился, вынеся рассказ о модельных категориях отдельным постом, т.к. здесь уже становится тяжело ориентироваться.

[sowa.livejournal.com]

Тут снова проявляются почти диаметрально противоположные представления о математике. Начиная с оценки работы Квиллена. Самое яркое место:

"видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы."

Видите ли, из книг Вы не узнаете содержания ни одной работы. В частности, Вы не увидите перспективы. В книгах есть нечто, названное CW-комплексами, есть теорема Уайтхеда, и т.п. Все это в пережеванном виде, с выброшенными вопросами, ради которых все это было придумано, с выборшенным vision автора, и так далее. Разумеется, начинать изучать предмет надо с книг. Но вот из книг у Вас сложилась неправильная картина - Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже. На уровне книг у меня обо всем этом есть представление. А статьи я смотрел, что уточнить исторические детали.

Разумеется, работу Уайтхеда нельзя назвать недооцененной. Разве я говорил что-нибудь подобное?

Я не знаю, откуда Вы цитировали Постникова, но цитированное "объяснение" имеется в его учебнике, основанном на его лекциях в МГУ, которые он читал не один раз. Он мог вставить его и какую-нибудь статью - это все равно идет от преподавания. Тем более у того лектора. Скорее всего он заимствовал это у Постникова, но даже если он это независимо придумал - перед ним стояла ровно та же задача, о которой я говорил: дать общее представление о предмете тем, кто еще не готов к пониманию его подлинной мотивировки.

[siyuv.livejournal.com]

Все это в пережеванном виде, с выброшенными вопросами, ради которых все это было придумано, с выборшенным vision автора -- у нас действительно очень разный взгляд на математику. Именно из-за того, что автор оригинальной работы полу-вековой давности интересуется вопросами, которые как правило потеряли актуальность я и не люблю смотреть в старые статьи, если есть достойная альтернатива. Когда Вам нужно освоить что-то новое Вы тоже предпочитаете обращаться к первоисточнику? Что-то мне подсказывает, что нет. По-крайней мере статьи Кана Вы не очень-то спешите читать.

Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже -- да, гладкость изложения в Фоменке-Фуксе обманчива в этом месте. Но я не думаю, что обманулся на каком-то концептуальном уровне.

А статьи я смотрел, что уточнить исторические детали -- конечно, только с точки зрения истории мматематики это и интересно, но когда я говорю о революции в предмете последовавшей за той или иной работой, или о связи двух казалось бы не связанных работ, то проверить мои утверждения, заглянув в оригинальные статьи нельзя. Там про это ничего нет. Нужно поинтересоваться более поздними интерпретациями.

...работу Уайтхеда нельзя назвать недооцененной. Разве я говорил что-нибудь подобное? -- Вы сказали, что она разрабатывает технические средства, по сравнению с революционной работой Серра. Это выглядит как не слишком высокая оценка. И на мой взгляд не заслуженная. Техника представленная у Вайтхеда уступает два порядка технике Серра, но при этом ему удалось заложить новые основания области, перенаправить исследования в новое русло.

...перед ним стояла ровно та же задача, о которой я говорил: дать общее представление о предмете тем, кто еще не готов к пониманию его подлинной мотивировки -- спор о таком фундаментальном понятии как предмет той или иной области наверняка должен был привлечь философов науки. Не знаете ли Вы каких-нибудь филосовских трудов, способных его разрешить?

[sowa.livejournal.com]

"Когда Вам нужно освоить что-то новое Вы тоже предпочитаете обращаться к первоисточнику?"

Да, обычно. Бывает, что оригинальные работы написаны очень плохо, тогда приходится обращаться к переизложениям - если они есть. Никаких поводов читать Кана у меня нет - это не моя специальность, и мне кажется, что он не очень-то хорошо писал.

"...проверить мои утверждения, заглянув в оригинальные статьи нельзя."

Можно, особенно если оказывается, что оригинальные статьи оказываются не о том, о чем Вы думали.

"....ему удалось ... перенаправить исследования в новое русло.

Да ну? В новое русло исследования направила диссертация Серра, а работа Уайтхеда - это technical framework для записи - даже не результатов, а доказательств.

Не думаю, что стоит искать философские глубины во вводных лекциях. Философских трудов на эту тему не знаю. Почти все, что философы пишут о математике - полная чушь.