Модельная категория Строма
Dec. 19th, 2008 11:31 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
siyuvНа категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-01-15 07:41 am (UTC)"видите ли, чтобы оценить значение той или иной работы необходимо посмотреть на нее в перспективе. Беглый просмотр ничего не дает. Я не скачивал те работы, про содержание которых я знаю из книг. Более того, книги передают содержание работы уже переосмыслив его, иногда не по первому разу и рассказывают о его значении, а это, согласитесь, гораздо более ценная информация, нежели просто содержание работы."
Видите ли, из книг Вы не узнаете содержания ни одной работы. В частности, Вы не увидите перспективы. В книгах есть нечто, названное CW-комплексами, есть теорема Уайтхеда, и т.п. Все это в пережеванном виде, с выброшенными вопросами, ради которых все это было придумано, с выборшенным vision автора, и так далее. Разумеется, начинать изучать предмет надо с книг. Но вот из книг у Вас сложилась неправильная картина - Вам казалось, что расслоения Гуревича были до расслоений Серра, а они появились позже. На уровне книг у меня обо всем этом есть представление. А статьи я смотрел, что уточнить исторические детали.
Разумеется, работу Уайтхеда нельзя назвать недооцененной. Разве я говорил что-нибудь подобное?
Я не знаю, откуда Вы цитировали Постникова, но цитированное "объяснение" имеется в его учебнике, основанном на его лекциях в МГУ, которые он читал не один раз. Он мог вставить его и какую-нибудь статью - это все равно идет от преподавания. Тем более у того лектора. Скорее всего он заимствовал это у Постникова, но даже если он это независимо придумал - перед ним стояла ровно та же задача, о которой я говорил: дать общее представление о предмете тем, кто еще не готов к пониманию его подлинной мотивировки.
no subject
Date: 2009-01-23 06:29 am (UTC)-- да, гладкость изложения в Фоменке-Фуксе обманчива в этом месте. Но я не думаю, что обманулся на каком-то концептуальном уровне.
-- конечно, только с точки зрения истории мматематики это и интересно, но когда я говорю о революции в предмете последовавшей за той или иной работой, или о связи двух казалось бы не связанных работ, то проверить мои утверждения, заглянув в оригинальные статьи нельзя. Там про это ничего нет. Нужно поинтересоваться более поздними интерпретациями.
-- Вы сказали, что она разрабатывает технические средства, по сравнению с революционной работой Серра. Это выглядит как не слишком высокая оценка. И на мой взгляд не заслуженная. Техника представленная у Вайтхеда уступает два порядка технике Серра, но при этом ему удалось заложить новые основания области, перенаправить исследования в новое русло.
-- спор о таком фундаментальном понятии как предмет той или иной области наверняка должен был привлечь философов науки. Не знаете ли Вы каких-нибудь филосовских трудов, способных его разрешить?
no subject
Date: 2009-01-23 07:15 am (UTC)Да, обычно. Бывает, что оригинальные работы написаны очень плохо, тогда приходится обращаться к переизложениям - если они есть. Никаких поводов читать Кана у меня нет - это не моя специальность, и мне кажется, что он не очень-то хорошо писал.
"...проверить мои утверждения, заглянув в оригинальные статьи нельзя."
Можно, особенно если оказывается, что оригинальные статьи оказываются не о том, о чем Вы думали.
"....ему удалось ... перенаправить исследования в новое русло.
Да ну? В новое русло исследования направила диссертация Серра, а работа Уайтхеда - это technical framework для записи - даже не результатов, а доказательств.
Не думаю, что стоит искать философские глубины во вводных лекциях. Философских трудов на эту тему не знаю. Почти все, что философы пишут о математике - полная чушь.