Модельная категория Строма
Dec. 19th, 2008 11:31 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
siyuvНа категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2008-12-26 09:53 am (UTC)Под посторонними я понимаю себя и моих студентов. :-) Просто как доказательство того, что есть люди, которым по каким-то причинам все это интересно, но для которых Goerss-Jardine предполагает слишком много теории категорий. Я бы предпочел, чтобы теория категорий излагалась по ходу дела - как это было у Кана (которого все-таки читать не очень хочется). В качестве примера я могу привести доказательство Леммы 2.1 в Goerss-Jardine. То, что там названо "observation" безо всяких ссылок, оказалось теоремой, которую МакЛейн и другие учебники доказывают на паре страниц. После этого читать дальше не хочется - сколько там еще будет таких "наблюдений", которые нужно разыскивать неизвестно где? А изучать теорию категорий отдельно от применений довольно скучно. Не говоря уже о том, что определение геометрической реализации (сразу после этой леммы) выглядит так, будто авторы намеревались запугать возможно большее количество читателей.
Так что предварительные сведения вовсе на заканчиваются на сопряженных функторах (которые тоже далеко не все знают).
"В общем сегодня литературы хватает на любой вкус.."
Увы, на мой вкус нет ничего.
Раз уж у Вас есть такие редкости, как диссертация Кана: Вы случайно не знаете, как можно добыть неопубликованный препринт Квиллена (опубликовано только резюме) по когомологиям Андре-Квиллена? Или его и не было никогда?
no subject
Date: 2009-01-06 04:35 am (UTC)-- да такого вроде бы нет, наверное изложение слишком громоздкое получиться.
-- я давно убедился, что теорию категорий лучше изучать по Келли, а не по МакЛейну, это утверждение там доказывается в одну строчку, действительно тянет на "наблюдение".
-- Ну что же, если позволите, то дам совет. Учитывая то, что модельные категории это не сложный и обще-принятый на сегодняшний день язык, их тоже неплохо выучить человеку интересующемуся симплициальной гомотопией (Гоерс-Жардин, кстати тоже посвящает им много внимания). Я бы порекомендовал для начала обзорную статью Двайера и Спалинского. Там почти ничего нет о симплициальных множествах, но если понимать их определение (предпучки на конечных ординалах) и устройство модельной категории (слабые эквивалентности можно определить через реализации, корасслоения = вложения), то в 99% случаев знание того что симплициальные множества имеют структуру модельной категории вполне достаточно для эффективной работы с ними. В оставшемся 1% случаев, в основном когда нужно строить симплициальные гомотопии, нужно прочитать соответсвующую главу из Хови, (там гораздо меньше теории категорий, чем в Гоерс-Жардине, не смотря на название), ну а если не хватит, то можно уже открыть Гоерса-Жардина, там больше материала, но читать избирательно.
-- Я не знаю точно о каком препринте Вы говорите, но работа Квиллена по когомологиям Андре-Квиллена опубликована.
no subject
Date: 2009-01-06 04:53 am (UTC)Келли - это Basic concepts of enriched category theory? Вроде других книг нет. Вы не могли бы дать точную ссылку?
Эта работа Квиллена - то, что я назвал резюме. В списке литературы к ней есть мимегорафированные заметки в MIT, с почти таким же названием (нет "ко").
no subject
Date: 2009-01-06 05:43 am (UTC)-- ну не знаю, вроде бы там все доказано, но я очень давно читал. Заметки из MIT не встречал. Нужно спросить старшее поколение.
no subject
Date: 2009-01-06 06:02 am (UTC)Хотя я не не пытался приложить серьезные усилия, у меня осталось впечатление, что в этой статье Квиллена не доказано ничего. Сравнение по объему с публикациями Андре эту мысль подтверждает. Возможно, если знать "все остальное" (например, прочитать книги Андре), то восстановить доказательства можно, но это не то, чего хотелось бы.
no subject
Date: 2009-01-07 01:09 am (UTC)Конечно нужно выучить взвешенные (ко)пределы (Келли использует устаревшее "индексированные"), чтобы разобраться в этом доказательстве, но тогда оно становится более концептуальным, а в неоснащенном случае взвешенные пределы переводятся в конические. Можно в этом доказательстве заменить взвешенные пределы на коэнды, но не думаю, что оно станет от этого понятнее.
Объем статьи Квиллена обманчив, так как она опирается на его книжку про модельные категории. Имеется современный обзор по лекциям Гоерсса, где он все доказывает на семи страницах, после введения в симплициальные методы.
no subject
Date: 2009-01-07 01:28 am (UTC)На статью Квиллена я взглянул. Все-таки там ничего всереьз не доказывается.
За ссылку на Goerss'а спасибо. Но если детальное (более детальное, чем в той статье) Квиллена существует, я бы хотел на него посмотреть.