Модельная категория Строма
Dec. 19th, 2008 11:31 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
siyuvНа категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.
Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).
Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.
Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-02-05 03:31 am (UTC)Не встречал подобного ни разу. Несколько раз читал курсы по Гриффитсу-Харрису,
слушатели были всякий раз знакомы со схемами и пучками лучше, чем с
почти комплексными многообразиями.
Касательно позиционирования, Харрис позиционирует эту книгу
как полную ошибок, и читать ее не рекомендует. Насчет
Гриффитса не знаю. Но Гриффитс математику давно уже бросил.
>Мне кажется, что нынешняя активность в теории аналитических пространств
Основной результат а.г. последних 20-30 лет - доказательство
MMP в статье Birkar, Cascini, Hacon, Mckernan (это не мое
мнение, а общепринятое среди специалистов по а.г., в
формулировке "основной результат математики последних
20 лет", я сам не энтузиаст).
Аналитическое доказательство MMP было получено Сиу за год-два
до BCHM, но никто разобраться в нем не может, потому
что людей подобной квалификации очень мало (надо знать
и схемную геометрию, и L^2-оценки; таких людей вдесятеро
меньше, чем классических а.г. школы Харриса и Лазарсфельда,
как МакКернан и косвенно остальные). В результате Сиу никто
не верит, хотя Хакон вежливо ссылается на его доказательство
как на верное.
Аналогичные вещи имеют место постоянно - большинство результатов
а.г последних 10-15 лет (все, что касается multiplier ideal sheaves,
например, и Kawamata vanishing) получены параллельно трансцендентными
методами, и классическими. Причем трансцендентные концептуально
гораздо яснее, а в классических всегда идет трудоемкая подгонка
техники под ответ.
Мораль - по соотношению количества людей к результатам
трансцендентная алгебраическая геометрия вдесятеро активнее
классической, но людей мало, соответственно, по результатам
получается примерно поровну.
Такие дела
Миша
no subject
Date: 2009-02-05 03:56 am (UTC)С Харрисом трудно не согласиться. Я пытался ее использовать в курсе комплексной геометрии. После того, как для объяснения одного утверждения, названного там очевидным, мне пришлось рассказать небольшую теорию, о которой там нет ни слова, я книжку бросил. Легче читать Грауэрта по-немецки.
BCHM - это все-таки алгебро-геометрический результат. Я не о том спрашивал. Не о трансцендентных методах в АГ, а об изучении более общих объектов - о том, чем занимался Грауэрт.
Ну а какие методы яснее - это зависит от вкусов и подготовки. Для алгебро-геометрических результатов я предпочитаю алгебраические доказательства, и считаю их более концептуальными.
no subject
Date: 2009-02-06 08:15 am (UTC)> "Третий общий принцип - сделать изложение замкнутым в себе".
Не работает: человеку с неразвитой интуицией туда лучше не соваться, а
интуицию можно развить только классическим (схемным) курсом а.г.
>Я пытался ее использовать в курсе комплексной геометрии.
нулевая глава хороша как список нужных теорем, доказательства
там плохие (если есть), все последующие главы просто устарели
и их надо игнорировать
Хороший учебник того же самого - Демайи, но он недописанный
(страниц 700, и ненаписанных глав примерно столько же)
>считаю их более концептуальными
определение мультипликаторного пучка в трансцендентной геометрии:
пучок локально L^2-интегрируемых голоморфных сечений расслоения с особой метрикой.
Определение того же самого в каноническом учебнике Лазарсфельда - 30
страниц, которые (если не знать L^2-мотиваций) кажутся
полным бредом, доказательства очевидных фактов тоже
пропорционально длиннее.
Я не возражаю против этого подхода (и с удовольствием читал
Лазарсфельда). Но если кто-то не слыхал про L^2 и занимается
мультипликаторными идеалами (тж. B-дивизорами), этот человек
страдает начетничеством и схоластикой.
Ну и естественно - в 9/10 а.г. последних 5-10 лет
(включая BCHM) присутствуют мультипликаторные идеалы, Кавамата-Фивег,
лог-канонический порог и прочие вещи, у которых никакого концептуального
обьяснения вне L^2-методов не существует.
>об изучении более общих объектов - о том, чем занимался Грауэрт
практически никого, увы, а если выкинуть специалистов по неалгебраическим
поверхностям (их человек 30-40), останется десяток-два людей, которые
интересуются неалгебраическими многомерными многообразиями
Грауэрт, впрочем, занимался в основном штейновой геометрией, и тут
все вопросы закрыли Громов-Элиашберг.
Такие дела
Миша
no subject
Date: 2009-02-06 08:29 am (UTC)"Что в книге [GH] схем нет - это потому, что она написана
для людей, которые знают схемы."
Написана она для людей, которые схем не знают, а написана она хорошо или плохо - это совсем другой вопрос. Я думаю, что плохо, Вы, видимо, тоже.
Про траснцендентные методы спорить смысла нет. Граница концептуальности проходит, конечно, не по использованию L^2-методов. Вы могли бы привести пример куда проще - теорию Ходжа.
>об изучении более общих объектов - о том, чем занимался Грауэрт
практически никого, увы"
Это я и говорил.
Грауэрт занимался штейновой геометрией, но не только, и я не думаю, что даже в ней все закрыли Громов-Элишаберг, но спорить об этом тоже мало смысла. Проблема какой-то области обычно бывает не в том, что старые задачи решены, а в том, что новых нет, или что она просто вышла из моды.
no subject
Date: 2009-02-10 09:59 pm (UTC)>Написана она для людей, которые схем не знают,
Это, в принципе, запись Харрисом
курса, который Гриффитс читал в Гарварде.
Насколько я понимаю - слушатели были хорошо знакомы со схемной техникой.
Зачем было писать в аннотации, что оно будет понятно без схем,
я не знаю. Возможно, это был концептуальный эксперимент
в построении курса alg.geom., который логически независим
от схем. Может, фразу про доступность для начинающих добавило
издательство (так часто делают). Но без схем все равно
непонятно, и это факт. Харрис уверен, что со схемами
много проще.
Такие дела
Миша
no subject
Date: 2009-02-11 12:31 am (UTC)Ну уж написали. Многие поверили, факт.
Честно говоря, мне кажется, что проблема с этой книжкой в другом. Я подозреваю, что Гриффитс - очень плохой автор по части учебных изложений. Я пытался использовать его книжку про алгебраических кривые в аналогичном курсе (точнее, в другой половине того же курса). У меня осталось впечатление, что это самая плохая книжка по алгебраическим кривым или римановым поверхностям среди всех имеющихся.