siyuv | Бескоординатная классификация главных расслоений

Пришел ко мне вчера студент (любимый, надо сказать) и попросил рассказать о классифицирующих пространствах и о том что именно они классифицируют. Ну, думаю, настало время опробовать программу dmitri_pavlov@ljr. Нет, ну я конечно не садист какой, рассказал ему сначала про конструкцию Милнора, обсудили почему стягивается и т.д.

А потом говорю, -- Забудь, это все в 50-х осталось, мы теперь по другому мыслим, бескоординатно.

Берем произвольную топологическую группу G, вводим наивную (проективную, поуровневую) модельную категорию на G-пространствах. Тогда EG это просто кофибрантная аппроксимация точки, а BG соответственно ее пространство орбит. Что же будем классифицировать? Разумеется главные расслоения, которые в нашей модели будут представлены кофибрантными объектами (G-CW-комплексами и их ретрактами). Хорошо бы это как-нибудь доказать, но это уж пусть те кто все еще в координатах мыслят мучаются. Мы тут высокой наукой заниматься будем.

Oтображение главного расслоения (G-CW-комплекса) X в универсальное EG строится за даром при помощи подъема в квадратике где слева стоит корасслоение ∅ ↪ X, а справа тривиальное расслоение EG ↠ ∗.

Остается понять почему гомотопные отображения f и g из базового пространства B в BG индуцируют изоморфные главные расслоения над B. Это проверяется при помощи отображений между E_f и E_g , которые строятся с использованием промежуточного главного раслоения E_h над B×[0;1], где h гомотопия между f и g. Попутно устанавливается, что построенные отображения a: E_f → E_g и b: E_g → E_f оказываются тривиальными расслоениями как ретракты тривиальных расслоений a': E_h → E_g и b': E_h → E_f , которые в свою очередь являются тривиальными расслоениями как пуллбэки (кстати, как это по русски?) тривиального расслоения p: B×[0,1] → B вдоль отображений факторизации по действию группы на главных расслоениях E_f и E_g. Теперь нужно проверить, что a и b обратимы. Это мы будем проверять только для CW-комплексов в качестве базовых пространств. А для CW-комплексов легко понять, что пуллбэк поднимает клеточную структуру до G-CW (он коммутирует с фильтрованным копределом, а для каждой отдельной клеточки это непосредственно видно), т.е. E_f , E_g G-CW-комплексы, а значит кофибрантны, иначе, главные расслоения в нашей терминологии. После этого можно убедиться в существовании обратной стрелочки, скажем к a, посмотрев на коммутативный квадратик с a стоящим справа, ∅ ↪ E_g слева и тождественным отображением внизу. Из вышесказанного следует, что подъем существует. Q.E.D.

К концу изложения мой студент начал заметно клевать носом, но это наверное от жары.