Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[siyuv.livejournal.com]

По чудовищной книге Мэя? -- нет конечно, сам не читал и другим не советую. На самом деле существенная часть теории симплициальных множеств используется для установления модельной категории на них (Жардин любит повторять, что это одна из самых сложных теорем в гомотопической топологии, и я с ним согласен). Вполне удовлетворительное изложение начиная с основ имеется и у Хиршхорна и у Хови. Начинающему я бы посоветовал Хови.

Если есть желание двигаться дальше, а Goerss-Jardine по какой-либо причине не устраивает (хотя имеющаяся там теория категорий это просто язык, его можно освоить по-ходу, не погружаясь), то имеется старая книжка Bousfield-Kan. Написана очень доступно, но немного не по-порядку, например последнюю главу про гомотопические пределы лучше изучить до того как принимаешься за все остальное, т.к. они все время используются. Но если человек освоился с началами теории, то Bousfield-Kan это хорошая альтернатива Goerss-Jardine. Также есть много хорошо написанных статей, пригодных для начинающих, но тут уже надо ориентироваться на конкретные интересы человека, прежде чем давать рекомендации.

[sowa.livejournal.com]

"...хотя имеющаяся там теория категорий это просто язык, его можно освоить по-ходу, не погружаясь..."

Нет, это Вам так кажется - видимо, Вы его хорошо знаете.

Боусфилд-Кан - совсем о другом, и даже не претендует быть учебником теории симплициальных множеств.

Хови - еще хуже, чем Goerss-Jardine (для "посторонних").

Мы как будто говорим о разных вещах. Хови - книга о модельных категориях, и это видно и по главе о симплициальных множествах. Акценты категорные. "Посторонние люди" знают теорию категорий на уровне определения категории и функтора, если повезет - они знают, что такое естественное преобразование функторов.

[siyuv.livejournal.com]

...видимо, Вы его хорошо знаете -- это очень лестно, но большинство алгебраических геометров меня окружающих знают теорию категорий лучше меня и используют более активно.

Боусфилд-Кан - совсем о другом -- конечно, я же написал, что это нужно читать если есть желание изучать предмет дальше. Сегодня эту книгу назвали бы Симплициальная гомотопия, как Гоэрсс с Жардином и сделали, снабдив ее введением в основы теории и немного рассказав о развитии.

Мы как будто говорим о разных вещах -- да, я тоже вдруг перестал понимать кто понимается под посторонними. Если это люди из совсем далеких областей, то зачем им симплициальные методы? Если речь идет об алгебраических геометрах, то они вроде бы должны знать теорию категорий в достаточном объеме.

Кроме определеений, которые Вы перечислили нужно знать еще лемму Йонеды, иметь представление о прямых и обратных пределах и сопряженных функторах. Мне сложно представить себе современного математика, который бы прошел мимо этих понятий, если конечно он не специалист по численным методам.

На языке схожем с книжкой Мэя имеется еще длинная обзорная статья Кертиса. Читается легче чем Мэй, но изложение конечно безнадежно устарело. Есть еще книжка Габриеля-Зисмана. Она более категорная, чем Мэй (хоть и не настолько как Хови) но в начале имеется глоссарий по теории категорий. В ней, кстати, доказана большая часть фактов необходимых для установления модельной категории на симплициальных множествах.

Есть, конечно, статьи Кана (я даже как-то раскопал его докторат в Еврейском универдитете - наверняка это единственный текст о симплициальных множествах написанный на иврите), там уж точно никакой теории категорий, кроме изобретенной по ходу дела (как например сопряженные функторы), но я их, признаюсь, никогда не читал.

В общем сегодня литературы хватает на любой вкус, можно обойтись без книжки Мэя.

[sowa.livejournal.com]

Ну не все же математики - алгебраические геометры.

Под посторонними я понимаю себя и моих студентов. :-) Просто как доказательство того, что есть люди, которым по каким-то причинам все это интересно, но для которых Goerss-Jardine предполагает слишком много теории категорий. Я бы предпочел, чтобы теория категорий излагалась по ходу дела - как это было у Кана (которого все-таки читать не очень хочется). В качестве примера я могу привести доказательство Леммы 2.1 в Goerss-Jardine. То, что там названо "observation" безо всяких ссылок, оказалось теоремой, которую МакЛейн и другие учебники доказывают на паре страниц. После этого читать дальше не хочется - сколько там еще будет таких "наблюдений", которые нужно разыскивать неизвестно где? А изучать теорию категорий отдельно от применений довольно скучно. Не говоря уже о том, что определение геометрической реализации (сразу после этой леммы) выглядит так, будто авторы намеревались запугать возможно большее количество читателей.

Так что предварительные сведения вовсе на заканчиваются на сопряженных функторах (которые тоже далеко не все знают).

"В общем сегодня литературы хватает на любой вкус.."

Увы, на мой вкус нет ничего.

Раз уж у Вас есть такие редкости, как диссертация Кана: Вы случайно не знаете, как можно добыть неопубликованный препринт Квиллена (опубликовано только резюме) по когомологиям Андре-Квиллена? Или его и не было никогда?

[siyuv.livejournal.com]

Да, Гоерс-Жардин не годиться в качестве учебника, я лично им пользуюсь только как справочником, хотя один мой соавтор утверждает, что по нему учился.

Я бы предпочел, чтобы теория категорий излагалась по ходу дела - как это было у Кана -- да такого вроде бы нет, наверное изложение слишком громоздкое получиться.

...названо "observation" безо всяких ссылок, оказалось теоремой, которую МакЛейн и другие учебники доказывают на паре страниц. -- я давно убедился, что теорию категорий лучше изучать по Келли, а не по МакЛейну, это утверждение там доказывается в одну строчку, действительно тянет на "наблюдение".

Увы, на мой вкус нет ничего. -- Ну что же, если позволите, то дам совет. Учитывая то, что модельные категории это не сложный и обще-принятый на сегодняшний день язык, их тоже неплохо выучить человеку интересующемуся симплициальной гомотопией (Гоерс-Жардин, кстати тоже посвящает им много внимания). Я бы порекомендовал для начала обзорную статью Двайера и Спалинского. Там почти ничего нет о симплициальных множествах, но если понимать их определение (предпучки на конечных ординалах) и устройство модельной категории (слабые эквивалентности можно определить через реализации, корасслоения = вложения), то в 99% случаев знание того что симплициальные множества имеют структуру модельной категории вполне достаточно для эффективной работы с ними. В оставшемся 1% случаев, в основном когда нужно строить симплициальные гомотопии, нужно прочитать соответсвующую главу из Хови, (там гораздо меньше теории категорий, чем в Гоерс-Жардине, не смотря на название), ну а если не хватит, то можно уже открыть Гоерса-Жардина, там больше материала, но читать избирательно.

...как можно добыть неопубликованный препринт Квиллена (опубликовано только резюме) по когомологиям Андре-Квиллена? -- Я не знаю точно о каком препринте Вы говорите, но работа Квиллена по когомологиям Андре-Квиллена опубликована.

[sowa.livejournal.com]

За советы спасибо.

Келли - это Basic concepts of enriched category theory? Вроде других книг нет. Вы не могли бы дать точную ссылку?

Эта работа Квиллена - то, что я назвал резюме. В списке литературы к ней есть мимегорафированные заметки в MIT, с почти таким же названием (нет "ко").

[siyuv.livejournal.com]

Келли - это Basic concepts of enriched category theory? -- да, дополнительное преимущество, что ее перенабрали в ТеХе и выложили в свободный доступ. Книжка слегка через чур формальная, но полезная.

Эта работа Квиллена - то, что я назвал резюме -- ну не знаю, вроде бы там все доказано, но я очень давно читал. Заметки из MIT не встречал. Нужно спросить старшее поколение.

[sowa.livejournal.com]

Да, я ее когда-то оттуда скачал. А Вы не могли бы дать ссылку по поводу этого "наблюдения"?

Хотя я не не пытался приложить серьезные усилия, у меня осталось впечатление, что в этой статье Квиллена не доказано ничего. Сравнение по объему с публикациями Андре эту мысль подтверждает. Возможно, если знать "все остальное" (например, прочитать книги Андре), то восстановить доказательства можно, но это не то, чего хотелось бы.

[siyuv.livejournal.com]

Утверждение 4.83 на странице 77 по перепечатанному изданию. Вас интересует импликация (ii)==>(i), поскольку всякий функтор является Lan-ом самого себя по категории, на которой он определен, а она в Вашем случае маленькая.

Конечно нужно выучить взвешенные (ко)пределы (Келли использует устаревшее "индексированные"), чтобы разобраться в этом доказательстве, но тогда оно становится более концептуальным, а в неоснащенном случае взвешенные пределы переводятся в конические. Можно в этом доказательстве заменить взвешенные пределы на коэнды, но не думаю, что оно станет от этого понятнее.

Объем статьи Квиллена обманчив, так как она опирается на его книжку про модельные категории. Имеется современный обзор по лекциям Гоерсса, где он все доказывает на семи страницах, после введения в симплициальные методы.

[sowa.livejournal.com]

Нет, уж лучше МакЛейн. С МакЛейном была одна трудность - найти нужную теорему (ссылок-то нет). После чего книжку можно читать с этого места, и все понятно. И ничего учить не нужно. У Келли я не могу даже начать читать в этом месте.

На статью Квиллена я взглянул. Все-таки там ничего всереьз не доказывается.

За ссылку на Goerss'а спасибо. Но если детальное (более детальное, чем в той статье) Квиллена существует, я бы хотел на него посмотреть.