Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[sowa.livejournal.com]

Да не нужна мне ссылка. Книжка у меня на диске, скачанная с канадского сайта, а не европейского.

"Будем продолжать спорить?"

Видимо, это бесполезно, поскольку Вы не только П. Фрейда не читали, но и прочитав, missed his point - предмет не опредляется изучаемыми объектами, определение предмета по объектам изучения может очень сильно сбивать с толку, как в его примере с наборами множеств, замкнутых относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Зачем такую странную вещь изучать?

Наличие позиций - это не показатель состояния области, хотя Вас это, вероятно, больше всего занимает. Знаете, сколько было позиций по теории чисел во времена Гаусса? Ноль. Но уж если Вы настаиваете на этом критерии, то ответ прост - теорию категорий можно будет счесть процветающей, если специалистов по ней будут брать хотя бы на позиции, объявленные как "Алгебра", а еще лучше - "Чистая Математика".

В теории категорий есть внутренние проблемы, которые мало кому интересны. И есть проблемы, возникающие по ходу дела в других науках - они интересны. Собственно, все важные понятия теории категорий так и возникли. Вот так и может быть.

Пример привести очень просто: дифференциальное исчисление, которому всех учат.

[siyuv.livejournal.com]

Вы не только П. Фрейда не читали -- упрек не принимается, я не категорщик и знакомство с классикой в этой области для меня не обязательно. Если бы я Спаниера не читал, было бы хуже.

...но и прочитав, missed his point... -- Вы через чур увлекаетесь поисками скрытых смыслов. Это опасная стезя (кажется по научному она называется семиотическим анализом). Следуя ей в этом маленьком отрывке можно отыскать очень многое. С трудом сдерживаюсь чтобы не начать острить по-поводу схожести фамилии автора с фамилией основателя психоанализа (Вы это очень правильно сделали, что указали инициал, а то у меня тут жена случайно заглянула в нашу переписку, так мне стоило некоторых усилий убедить ее, что речь идет о математике) и вытекающих отсюда последствий отразившихся в печально известной истории с его дочерью.

На деле же все гораздо проще. Там написано только, что не стоит давать студентам формальное определение в качестве описания предмета, а нужно просто объяснить чем область занимается. Идеально, с точки зрения Фрейда, было бы указать категорию, являющуюся предметом изучения, хотя это конечно возможно не всегда (пример: дифуры).

Я думаю, что к Вашему подходу к определению предмета какой-либо области неизбежено приходится прибегать для очень новых, полностью еще не сложившихся областей. Пример: К-теория. В чем ее предмет мне не ясно; наверное пока этого никто определить не может, иначе как перечислив круг идей, которыми занимается эта область.

Вот еще один пример: гомологическая алгебра. Основной круг идей этой науки сложился, видимо, еще до появления книжки Картана-Эйленберга, но предмет у этой науки появился только в этой книжке: аддитивные функторы и их производные. Это не моя мысль я ее где-то прочел, но никак не могу вспомнить где.


Знаете, сколько было позиций по теории чисел во времена Гаусса? Ноль. -- охотно верю, но это как раз и означает, что с социальной точки зрения положение области было тяжелое. С научной ситуацией это коррелирует слабо.

...теорию категорий можно будет счесть процветающей, если специалистов по ней будут брать хотя бы на позиции, объявленные как "Алгебра", а еще лучше - "Чистая Математика" -- я согласен с этим определением. Все что я хотел сказать, что сегодня этого не происходит. Если кто из категорщиков и получает позицию, то на компьютерном факультете (по-крайней мере в последие года три, хотя я мог кого-то и упустить).

Собственно, все важные понятия теории категорий так и возникли -- я с этим не согласен. В теории категорий есть внутренняя логика развития. Пример важной концепции появившийся внутри теории категорий, и лишь затем нашедшей применения: квази-категории Жойаля.

Пример привести очень просто: дифференциальное исчисление, которому всех учат -- на сегодняшний день дифференциальное исчисление мертвая область. Предмет исчерпался. Но если бы Вы в таком духе стали высказываться в Англии, когда Ньютон был президентом королевского общества, то Вам, скорее всего, отрубили бы голову.

Теория категорий продолжает развиваться, в отличие от дифференциального исчисления, так что пример не годиться.

[sowa.livejournal.com]

Беда в том, что я таки смотрел Ваши работы, и усматриваю в них больше связи с книгой Фрейда, нежели с книгой Спеньера. И не посмотреть предисловие к классической книжке, лежащей на том же сайте, что книга Келли, к которой Вы меня отсылали - это сильно удручающее отсутствие любопытства (как и с работами Серра, Гуревича, и Уайтхеда). О том, чтобы читать всю книгу, речи не было - хотя, наверное, она по-прежнему ценна, раз ее отобрали для выкладывания на том сайте.

Никакого скрытого смысла там нет - скрытый смысл пытаетесь найти Вы, а не я, постоянно подсовывая мне идею, что Фрейд под предметом изучения понимает категорию. Я думаю, что у него были все возможности сказать это, если бы он так думал, для придания книге пущей важности. Но он этого не сделал.

Как это К-теория вдруг оказалась очень новой областью? Ей примерно 50 лет, всего на 10 лет меньше, чем теории категорий. К-теория - действительно хорошая иллюстрация того, что Ваш подход не работает. Вот иллюстрация "с другого конца": гармонический анализ. Гомологическая алгебра действительно появилась до книги Картана-Эйленберга (скажем, работы Хопфа и Эйленберга-Маклейна 40-х годов безусловно к ней относятся), и предмет ее не ограничивается предметом книги Эйленберга-Маклейна. Скажем, есть производные функторы неаддитивных функторов, и мне даже неловко об этом писать.

Таким образом, Вы согласились с тем, что теория категорий не процветает. Грустный вывод, я надеялся на другой.

Разумеется, в какой-то момент любая наука начинает заниматься внутренними задачами. Но, видимо, важность этих внутренних идей в теории категорий еще не доказана - иначе бы она "процветала".

В целом, этот тред получился забавным. Мне теория категорий очень нравится, хотя я никоим образом не специалист, и мне удалось доказать Вам, специалисту, что она не процветает. Я думаю, что тут что-то не так - было неявно принято неправильное представление о том, что такое теория категорий. Но у нас с Вами с этим вообще трудно - мы не сходимся даже в базовых представлениях о том, что является предметом какой-то науки.

Я думаю, что Ньютон меня бы поддержал. Он-то занимался интересными приложениями метода флюксий, а дифференциальное исчисление придумал Лейбниц. В Британии полагали, что Лейбниц все украл, но, возможно, они сочли бы мою идею неплохим компромиссом - он не украл, а просто придумал нечто гораздо менее интересное, чем придуманное Ньютоном.

[siyuv.livejournal.com]

...не посмотреть предисловие к классической книжке, лежащей на том же сайте, что книга Келли -- да читал я Фрейда, книжка у меня распечатанная на полке лежала, ссылку я специально для вас искал. Просто он не оставил у меня такого впечатления как у Вас. Предисловие там ничем не отличается от Постниковского и тысячи других.


...Фрейд под предметом изучения понимает категорию -- эта идея лежит на поверхности. Посмотрите на процитированный отрывок. Если топология изучает непрерывные отображения между пространствами, то что остается, чтобы дойти до категории? Сами пространства. Но это кажется и так ясно, что топология изучает пространства.

Как это К-теория вдруг оказалась очень новой областью? Ей примерно 50 лет -- это К-функторам 50 лет. Что считать началом К-теории вопрос спорный. На одной конференции кто-то из пожилых участников сказал, что для него К-теория это такая линеаризация топологических вопросов. Фридландер очень расстроился и сказал, что есть масса работ по К-теории никак не связанных с топологией. Пока нет абсолютного согласия с тем существует ли такая область, трудно ожидать, что у нее будет определенный предмет. До Кртана-Эйленберга никто не говорил о гомологической алгебре, как об отдельной области.

...Вы согласились с тем, что теория категорий не процветает -- как Вы могли надеяться на другой вывод? Вы знаете хоть одного категорщика в штатах не достигшего пенсионного возраста и занимающегося те, что вы называете внутренними вопросами теории категорий? Те же кто занимаются прикладными будут, вроде меня, всеми силами отнекиваться от клейма категорщика.

...неявно принято неправильное представление о том, что такое теория категорий -- а что такое теория категорий в Вашем понимании?

[sowa.livejournal.com]

Отличается от постниковского. Книжка Фрейда представляет публике новый предмет, в отличие от многократного читанного курса Постникова.

""...Фрейд под предметом изучения понимает категорию" -- эта идея лежит на поверхности."

Это Вы ее туда положили. Еще раз: если бы Фрейд так думал, он бы так и написал.

"...К-теория это такая линеаризация топологических вопросов"

Это просто цитата из Атийи, который говорил о топологической К-теории.

Область, несомненно, существует. Я Вам еще пример гармонического анализа приводил. Могу посоветовать предисловие к книге Манина и Панчишкина по теории чисел, несомненно, написанное самим Маниным. Там обсуждается, что такое теория чисел, и отмечается, что теория чисел отнюдь не определяется предметом "целые числа". Мне не хочется пересказывать его изящную прозу "своими словами".

У Манина можно найти и обсуждение того, что такое гомологическая алгебра - в предисловии к книге Гельфанда и Манина.

Я думаю, что и теорию категорий нужно понимать в том духе, как Манин понимает теорию чисел. При этом есть существенная разница - самостоятельного предмета у теории категорий нет, есть категорный подход к другим разделам математики.