Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[siyuv.livejournal.com]

Вы не только П. Фрейда не читали -- упрек не принимается, я не категорщик и знакомство с классикой в этой области для меня не обязательно. Если бы я Спаниера не читал, было бы хуже.

...но и прочитав, missed his point... -- Вы через чур увлекаетесь поисками скрытых смыслов. Это опасная стезя (кажется по научному она называется семиотическим анализом). Следуя ей в этом маленьком отрывке можно отыскать очень многое. С трудом сдерживаюсь чтобы не начать острить по-поводу схожести фамилии автора с фамилией основателя психоанализа (Вы это очень правильно сделали, что указали инициал, а то у меня тут жена случайно заглянула в нашу переписку, так мне стоило некоторых усилий убедить ее, что речь идет о математике) и вытекающих отсюда последствий отразившихся в печально известной истории с его дочерью.

На деле же все гораздо проще. Там написано только, что не стоит давать студентам формальное определение в качестве описания предмета, а нужно просто объяснить чем область занимается. Идеально, с точки зрения Фрейда, было бы указать категорию, являющуюся предметом изучения, хотя это конечно возможно не всегда (пример: дифуры).

Я думаю, что к Вашему подходу к определению предмета какой-либо области неизбежено приходится прибегать для очень новых, полностью еще не сложившихся областей. Пример: К-теория. В чем ее предмет мне не ясно; наверное пока этого никто определить не может, иначе как перечислив круг идей, которыми занимается эта область.

Вот еще один пример: гомологическая алгебра. Основной круг идей этой науки сложился, видимо, еще до появления книжки Картана-Эйленберга, но предмет у этой науки появился только в этой книжке: аддитивные функторы и их производные. Это не моя мысль я ее где-то прочел, но никак не могу вспомнить где.


Знаете, сколько было позиций по теории чисел во времена Гаусса? Ноль. -- охотно верю, но это как раз и означает, что с социальной точки зрения положение области было тяжелое. С научной ситуацией это коррелирует слабо.

...теорию категорий можно будет счесть процветающей, если специалистов по ней будут брать хотя бы на позиции, объявленные как "Алгебра", а еще лучше - "Чистая Математика" -- я согласен с этим определением. Все что я хотел сказать, что сегодня этого не происходит. Если кто из категорщиков и получает позицию, то на компьютерном факультете (по-крайней мере в последие года три, хотя я мог кого-то и упустить).

Собственно, все важные понятия теории категорий так и возникли -- я с этим не согласен. В теории категорий есть внутренняя логика развития. Пример важной концепции появившийся внутри теории категорий, и лишь затем нашедшей применения: квази-категории Жойаля.

Пример привести очень просто: дифференциальное исчисление, которому всех учат -- на сегодняшний день дифференциальное исчисление мертвая область. Предмет исчерпался. Но если бы Вы в таком духе стали высказываться в Англии, когда Ньютон был президентом королевского общества, то Вам, скорее всего, отрубили бы голову.

Теория категорий продолжает развиваться, в отличие от дифференциального исчисления, так что пример не годиться.

[sowa.livejournal.com]

Беда в том, что я таки смотрел Ваши работы, и усматриваю в них больше связи с книгой Фрейда, нежели с книгой Спеньера. И не посмотреть предисловие к классической книжке, лежащей на том же сайте, что книга Келли, к которой Вы меня отсылали - это сильно удручающее отсутствие любопытства (как и с работами Серра, Гуревича, и Уайтхеда). О том, чтобы читать всю книгу, речи не было - хотя, наверное, она по-прежнему ценна, раз ее отобрали для выкладывания на том сайте.

Никакого скрытого смысла там нет - скрытый смысл пытаетесь найти Вы, а не я, постоянно подсовывая мне идею, что Фрейд под предметом изучения понимает категорию. Я думаю, что у него были все возможности сказать это, если бы он так думал, для придания книге пущей важности. Но он этого не сделал.

Как это К-теория вдруг оказалась очень новой областью? Ей примерно 50 лет, всего на 10 лет меньше, чем теории категорий. К-теория - действительно хорошая иллюстрация того, что Ваш подход не работает. Вот иллюстрация "с другого конца": гармонический анализ. Гомологическая алгебра действительно появилась до книги Картана-Эйленберга (скажем, работы Хопфа и Эйленберга-Маклейна 40-х годов безусловно к ней относятся), и предмет ее не ограничивается предметом книги Эйленберга-Маклейна. Скажем, есть производные функторы неаддитивных функторов, и мне даже неловко об этом писать.

Таким образом, Вы согласились с тем, что теория категорий не процветает. Грустный вывод, я надеялся на другой.

Разумеется, в какой-то момент любая наука начинает заниматься внутренними задачами. Но, видимо, важность этих внутренних идей в теории категорий еще не доказана - иначе бы она "процветала".

В целом, этот тред получился забавным. Мне теория категорий очень нравится, хотя я никоим образом не специалист, и мне удалось доказать Вам, специалисту, что она не процветает. Я думаю, что тут что-то не так - было неявно принято неправильное представление о том, что такое теория категорий. Но у нас с Вами с этим вообще трудно - мы не сходимся даже в базовых представлениях о том, что является предметом какой-то науки.

Я думаю, что Ньютон меня бы поддержал. Он-то занимался интересными приложениями метода флюксий, а дифференциальное исчисление придумал Лейбниц. В Британии полагали, что Лейбниц все украл, но, возможно, они сочли бы мою идею неплохим компромиссом - он не украл, а просто придумал нечто гораздо менее интересное, чем придуманное Ньютоном.

[siyuv.livejournal.com]

...не посмотреть предисловие к классической книжке, лежащей на том же сайте, что книга Келли -- да читал я Фрейда, книжка у меня распечатанная на полке лежала, ссылку я специально для вас искал. Просто он не оставил у меня такого впечатления как у Вас. Предисловие там ничем не отличается от Постниковского и тысячи других.


...Фрейд под предметом изучения понимает категорию -- эта идея лежит на поверхности. Посмотрите на процитированный отрывок. Если топология изучает непрерывные отображения между пространствами, то что остается, чтобы дойти до категории? Сами пространства. Но это кажется и так ясно, что топология изучает пространства.

Как это К-теория вдруг оказалась очень новой областью? Ей примерно 50 лет -- это К-функторам 50 лет. Что считать началом К-теории вопрос спорный. На одной конференции кто-то из пожилых участников сказал, что для него К-теория это такая линеаризация топологических вопросов. Фридландер очень расстроился и сказал, что есть масса работ по К-теории никак не связанных с топологией. Пока нет абсолютного согласия с тем существует ли такая область, трудно ожидать, что у нее будет определенный предмет. До Кртана-Эйленберга никто не говорил о гомологической алгебре, как об отдельной области.

...Вы согласились с тем, что теория категорий не процветает -- как Вы могли надеяться на другой вывод? Вы знаете хоть одного категорщика в штатах не достигшего пенсионного возраста и занимающегося те, что вы называете внутренними вопросами теории категорий? Те же кто занимаются прикладными будут, вроде меня, всеми силами отнекиваться от клейма категорщика.

...неявно принято неправильное представление о том, что такое теория категорий -- а что такое теория категорий в Вашем понимании?

[sowa.livejournal.com]

Отличается от постниковского. Книжка Фрейда представляет публике новый предмет, в отличие от многократного читанного курса Постникова.

""...Фрейд под предметом изучения понимает категорию" -- эта идея лежит на поверхности."

Это Вы ее туда положили. Еще раз: если бы Фрейд так думал, он бы так и написал.

"...К-теория это такая линеаризация топологических вопросов"

Это просто цитата из Атийи, который говорил о топологической К-теории.

Область, несомненно, существует. Я Вам еще пример гармонического анализа приводил. Могу посоветовать предисловие к книге Манина и Панчишкина по теории чисел, несомненно, написанное самим Маниным. Там обсуждается, что такое теория чисел, и отмечается, что теория чисел отнюдь не определяется предметом "целые числа". Мне не хочется пересказывать его изящную прозу "своими словами".

У Манина можно найти и обсуждение того, что такое гомологическая алгебра - в предисловии к книге Гельфанда и Манина.

Я думаю, что и теорию категорий нужно понимать в том духе, как Манин понимает теорию чисел. При этом есть существенная разница - самостоятельного предмета у теории категорий нет, есть категорный подход к другим разделам математики.