siyuv: (Default)
[personal profile] siyuv
Модельные категории были введены Квилленом в конце 60-х и сразу же получили интересные применения: рациональная гомотопическая теория, когомологии Андре-Квиллена. Однако больше Квиллен к ним кажется не возвращался. Даже в большой работе по алгебраической К-теории, принесшей ему медаль Филдса, модельные категории не используются, хотя и напрашиваются (там в начале разрабатывается абстрактная гомотопическая теория для категорий и функторов -- соответствующая модельная категория была построена Томасоном).

Дальнейшая разработка идей связанных с модельными категориями перешла почти исключительно к школе Кана. Конечно можно найти и исключения, например Алекс Хеллер, который предлагал собственные подходы к абстрактной гомотопической теории еще до Квиллена, или Рик Жардин, который попытался еще в 81-м году применить методы гомотопической алгебры к алгебраической геометрии. Но безусловно, что на фоне общего спада активности в алгебраической топологии с середины 70-х по середину 80-х, эта область осталась на плаву в первую очередь благодаря Кану и его ученикам, некоторым из которых увлечение столь абстрактными идеями стоило карьеры.

В 79-80 годах появилась серия работ Двайера и Кана которая увенчалась следующим замечательным результатом: структура модельной категории несет в себе информацию о высших гомотопиях пространства отображений между двумя объектами. Другими словами, даже если данная модельная категория не имеет отношения к пространствам или симплициальным множествам (в частности не имеет оснащения над ними), все равно можно говорить о гомотопическом типе пространства отображений между объектами. Если же модельная категория симпициальна, то гомотопический тип пространства отображений полученного методом Двайера-Кана волшебным образом совпадает с пространством отображений имеющимся в структуре оснащенной модельной категории.

В конце 80-х начинается медленный подъем в алгебраической топологии. Начинается он, на мой взгляд, с доказательства гипотез Равенеля в стабильной гомотопической теории (Девинац-Хопкинс-Смит), но модельные категории не приобретают популярности, несмотря на то, что Жардину и Жойалю удалось (независимо) построить локальную модельную категорию для произвольного сайта и получить первые применения в алгебраической К-теории (Жардин). Позднее эта модельная категория сыграла важную роль в мотивной гомотопической теории.

Реабилитацию модельные категории получили только с появлением работы Мореля-Воеводского, где использовались не только как удобный формализм, но и для создания новых вычислительных инструментов. Надо сказать что к концу 90-х, когда появилась работа Мореля-Воеводского, школа Кана создала хорошо развитую теорию. Имелось два незазвисимых подхода к локализациям (Хиршхорна и Смита). Рукопись Хиршхорна была доступна в интернете на протяжении по-крайней мере 5 лет и служила очень хорошим подспорьем для начинающих (изданная по ней в 2003 коду книга P.S. Hirschhorn, Model categories and their localizations является наиболее полной на сегодняшний день коллекцией фактов о модельных категориях и часто цитируется). Вводная статья Двайера и Спалинского (W.G. Dwyer and J. Spalinski, Homotopy theories and model categories), а позднее книжка Хови (M. Hovey, Model Categories) тоже здорово способствовали популяризации. Морель и Воеводский использовали накопленную технику насколько это было возможно, но им пришлось также развивать кое-какие направления и собственными силами (например общих работ о стабилизации модельных категорий на тот момент не было). В тот же период появляется еще один долгожданный результат: замкнутая, симметричная, моноидальная модель для стабильной гомотопической теории, даже 3 разных модели; начинается массовый перенос результатов из теории колец на кольцевые спектры (то что Мэй назвал Brave new algebra).

В начале 2000-х начинается новый этап развития теории модельных категорий. Подключается много новых людей. Появляются как чисто технические результаты, расширяющие наш кругозор в этой области (например первые модельные категории не порожденные корасслоениями или результаты Даггера о порождении модельных категорий образующими и соотношениями D. Dugger, Combinatorial Model Categories Have Presentations), так и результаты направленные на приложения вне алгебраической топологии (например работа Айзаксена -- D. Isaksen про этальную гомотопическую теорию или работа Даггера и Шипли -- B. Shipley про К-теорию колец, независимо подтвердившая часть сложных результатов Нэемана).

Наконец можно перейти к вопросу о том для чего нужны модельные категории. На мой взгляд, основная задача модельных категорий это перенос результатов алгебраической топологии на другие области. Конкретнее, вычислительный аппарат накопленный в топологии хотелось бы научиться применять где-то еще. Именно в этом ключе написана работа Мореля-Воеводского. Распространение их успеха на другие области кажется очень привлекательным и перспективным занятием. По мнемоническому правилу, выведенному Марком Хови, модельная категория возникает там, где появляется слово "гомология". Слабыми эквивалентностями должны стать гомологические эквивалентности. А поскольку сегодня гомологические техники исключительно популярны, то и потенциальных областей приложения для модельных категорий должно быть достаточно.

Вопрос в том, каким именно образом переносить вычислительные методы из топологии куда-то еще? Как обобщить спектральную последовательность Серра, например, мне не известно, но хотелось бы рассказать об одном результате Боусфилда (G&T 2003) исключительной общности, который использует достаточно сложные технические средства, и остается из-за этого без должногого внимания за пределами области, хотя именно от него ожидаются результаты прикладного характера.

Технические детали изложить здесь не удасться, но в общих чертах Боусфилду удалось сделать следующее: для самой общей модельной категории (в смысле Квиллена) построена гомотопическая спектральная последовательность сходящаяся к гомотопическим группам пространства отображений между двумя объектами. Пространство отображений следует рассматривать в смысле Двайера и Кана. Можно добавить, что эта работа является обобщением гомотопической спектральной последовательности построенной Боусфилдом и Каном в начале 70-х, которая в свою очередь является нестабильным аналогом спектральной последовательности Адамса. Удивительной является необычайная общность работы --- никаких ограничений на модельную категорию. Дело теперь за малым -- найти приложения.

Так или иначе, но сегодня можно смело говорить, что модельная категория является вычислительным инструментом, а не только формальной структурой позволяющей определить гомотопическую категорию.

Date: 2009-01-14 01:32 pm (UTC)
From: [identity profile] aron-turgenev.livejournal.com
Очень хорошо написано. Известно ли что-нибудь о современном использовании S-конструкции Вальдчаузена (вопрос, конечно, не совсем по теме).

Date: 2009-01-14 02:53 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Спасибо.

Я не знаю пробовал ли кто-нибудь строить новые инварианты с помощью S-конструкции Вальдхаузена, но алгебраическая К-теория топологических пространств (А-функтор) продолжает активно изучаться на стыке дифференциальной и гомотопической топологии (имеются недавние работы Джона Клайна и Брюса Уильямса и др.).

Я думал следует ли включать работу Вальдхаузена в этот обзор, но решил этого не делать, поскольку это действительно другая область (К-теория с применениями к диффернциальной топологии), и уж конечно нарушила бы общую картину упадка в алгебраической топологии в середине 80-х.

Date: 2009-01-16 01:08 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Я вспомнил об одном недавнем использовании S-конструкции, связанном с модельными категориями. Вальдхаузен предложил двум своим мастерантам (с разницей в несколько лет) подумать над К-теорией модельной категории. Штефен Сагаве опубликовал статью по своей мастерской диссертации. Проблема в том, что модельные категории как правило большие, поэтому непосредственное применение S-конструкции к категории, скажем, кофибрантных объектов наталкивается на теоретико-множественные трудности. Штефен, правда, указывает (в начале 3-й части), что даже если их игнорировать, то из теоремы аддитивности Вальдхаузена можно извлечь стягиваемость S-конструкции для любой категории с бесконечными суммами. Короче, чтобы получить нетривиальные инварианты нужно как-то ограничивать набор объектов. Сагаве рассматривает конечно-представимые (категорное обобщение компактных) объекты и развивает некую теорию. Остается вопрос, а что будет, если взять больший набор объектов? Изменится от этого К-теория, или нет? Пока на него не будет дан внятный ответ, я не думаю, что этот инвариант приживется.

Date: 2009-01-16 02:22 am (UTC)
From: [identity profile] aron-turgenev.livejournal.com
Мне кажется, что комбинаторные свойства S-конструкции интересны сами по себе (т.е. их следует изучать еще до перехода к гомотопическим группам). Они, например, связаны с произведениями Масси для расширений первого порядка.

Date: 2009-01-16 12:16 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Об этом я ничего не знаю. А кто этим занимался?

Date: 2009-01-20 03:11 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Спасибо за ссылку. Прочитал Author summary в MathSciNet. Напомнило работу Тибора Беке про промежуточные модельные категории на симплициальных множествах. Интересно посмотреть является ли S-конструкция фибрантной в какой-то из них. Там достаточно применить конечную последовательность Кановских расширений?

Date: 2009-01-20 07:00 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. (1984)?

Date: 2009-01-20 12:48 pm (UTC)
From: [identity profile] aron-turgenev.livejournal.com
Не могу сразу сказать, давно об этом не думал.

Date: 2009-01-15 08:16 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Здорово! Очень интересно.

Не могли бы Вы привести более точные ссылки? Например, мне не хочется гадать, как менее известные имена записываются по-английски. И что стало с этой рукописью, которая была доступна 5 лет? Пополнила немалый список (полу)утраченных топологических работ?

"По мнемоническому правилу, выведенному Марком Хови, модельная категория возникает там, где появляется слово "гомология". Слабыми эквивалентностями должны стать гомологические эквивалентности."

Это меня заинтриговало. Теория переориентировалась с гомотопических эквивалентностей на гомологические? Для пространств это принципиально разные вещи.

Date: 2009-01-16 06:20 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Спасибо.

Я вставил некоторые ссылки в текст. Если мало, то скажите, добавлю еще.

Какое-то время действительно казалось, что рукопись Хиршхорна может постигнуть печальная участь. Время от времени в ней вылавливали ошибки и особого доверия основной результат (теорема о локализации) не вызывал. В то же время, даже на ранних этапах она была очень полезна, поскольку собрала очень большое количество материала, включая неопубликованные леммы Кана. Но в конце-концов Хиршхорн взял себя в руки и дописал ее, выкинув, правда, одну интересную главу (мне из-за этого пришлось ссылки менять по всему докторату). Книжка вышла в 2003.

Теория переориентировалась с гомотопических эквивалентностей на гомологические? -- не знаю можно ли так сказать, просто в середине 70х стало понятно, что гомологические эквивалентности можно рассматривать как расширение понятия слабых эквивалентностей. Боусфилд построил локализации пространств по-отношению к гомологическим эквивалентностям. Соответствующие модельные категории строились в приложении, но построение функторов локализации тоже не обошлось без техники Квиллена -- Боусфилд немного обобщил его small object argument.

Да и у Квиллена была модельная категория на (ограниченных) цепных комплексах с квази-эквивалентностями в качестве слабых эквивалентностей.

Date: 2009-01-16 07:02 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Спасибо!

Вы добавили как раз те ссылки, которые я хотел. Хорошо, что Вы указали на связь рукописи с книгой. А что он выкинул?

К самому посту. А почему Вы игнорируете работы по гипотезам Сулливана и Сигала, в 80-е? Если их добавить, то получится, что никакого особенного "спада активности в алгебраической топологии с середины 70-х по середину 80-х" не было.

Date: 2009-01-17 01:18 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Выкинул недописанную главу о модельных категориях оснащенных над замкнутой, симметричной, моноидальной модельной категорией -- обобщение симплициальных модельных категорий Квиллена, включающее, например, цепные комплексы и категории оснащенные над цепными комплексами. В книжке Хови есть все определения, но у Хиршхорна развивалась теория аналогичная симплициальному случаю. Просто не успел дописать, не уложился в дедлайн выданный издателем.

Так и знал, что дойдет до выставления оценок. Я не игнорирую доказательства гипотез Сулливана и Сигала. Именно о них я говорил в предыдущей беседе, как о работах решающих задачи поставленные в начале 70х годов методами начала 70х. Сильные работы, имевшие важные приложения. Но это в основном спортивные достижения. Они не стали результатом работы групп математиков и не создали новых направлений, которые привлекли бы свежие силы. Под влиянием работы Миллера Фаржун с Забродским разработали эквивариантную гомотопическую теорию в стиле Бредона, но для произвольных диаграмм, в надежде продвинуться к общей гипотезе Сулливана. К сожалению лучшего понимания работы Миллера достичь тогда не удалось. Работа Карлсона не вызвала, кажется, даже таких попыток, хотя я могу чего-то не знать.

Есть правда другие, менее известные работы этого периода, которые положили начало новым направлениям, но развитие они получили только в начале--середине 90-х.

Конечно я не могу судить объективно о настроениях царивших в 80-е годы, но если пытаться оценивать состояние области по работам, то имеет смысл смотреть на активные направления, приведшие к интересным результатам, а не на отдельно стоящие сильные работы.

Косвенное свидетельство того, что упадок имел место, я однако получил. На моей первой большой конференции в 2000 году один пожилой тополог начал свое выступление так: "Я вижу в зале много молодежи -- верный признак хорошего состояния нашей области". Я, помниться, тогда расстроился. Ведь когда состояние действительно хорошее, то такие признаки никто не ищет.

Date: 2009-01-17 11:06 pm (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Да ну, где Вы видите выставление оценок?

"Сильные работы, имевшие важные приложения."

Область, в которой есть такие результаты, наверное, не очень-то в упадке.

"Они не стали результатом работы групп математиков..."

В этом, на мой взляд, нет ничего дурного.

...и не создали новых направлений, которые привлекли бы свежие силы."

Может, проблема была с отсутствием "свежих сил", или с тем, что свежие силы были перетянуты в другие области? (Я думаю, что был и недостаток свежих сил, и перетягивание их в другие области - см. мою беседу с Летающим Медведем.)

"...если пытаться оценивать состояние области по работам, то имеет смысл смотреть на активные направления, приведшие к интересным результатам, а не на отдельно стоящие сильные работы."

Наполовину противоположно моему подходу. Бывают индивидуальные достижения, бывают коллективные. Из двух главных достижений математики 20-го века одно - индивидуальное (алгебраическая геометрия Гротендика), другое - коллективное (условно "гомологическая алгебра", куда я включаю и теорию гомотопий).

Date: 2009-01-20 06:27 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
...не очень-то в упадке -- все относительно, бывали и лучшие времена. Да и сейчас, мне кажется, лучше.

свежие силы были перетянуты в другие области? -- куда-то же они должны были деться.

Дело не в том коллективное достижение или личное, а в том какие последствия оно имело. Работа Гротендика основала целую область в науке. С 75 по 85 не возникло ни одного нового направления в алгебраической топологии и не было впечатляющих приложений к другим областям. Это привело к снижению популярности, последствия которого сказываются (на социальном уровне) до сих пор.

Вы слишком широко трактуете предмет гомологической алгебры, но это скорее тема нашей предыдущей беседы.

Date: 2009-01-20 06:53 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Они делись (те, которые остались) в области, происходящие из "физики" (Виттен и Ко), и в "неалгебраическую" комбинаторику (тоже в расширительном смысле - олимпиадные задачи).

Раз уж Вы говорите, уже не первый раз, про социальные аспекты. Я думаю, что они тут сыграли очень большую роль. Например, в СССР Новиков ликвидировал к концу 70-х почти всю топологию, и алгебраическую, и дифференциальную. Всех своих лучших учеников перетащил сначала в интегрируемые системы, а потом просто во всякие уравнения. На Западе Сулливан бросил топологию в конце 70-х. У него учеников-топологов два или три, не особенно сильных. Ну а после Дональдсона все ринулись учить физические уравнения.

Мне бы хотелось, чтобы эти уравнения были заменены на какой-то вариант алгебраической топологии. Скажем, бесконечномерные многообразия, на которых все это происходит, должны иметь дополнительную структуру, позволяющую строить "теорию гомотопий" - если угодно, они должны образовывать другую модельную категорию, отличную от обычной.

В расширенном смысле я включаю в гомологическую алгебру и алгебраическую топологию, и алгебраическую К-теорию. В этих случаях я ставлю кавычки. Но и собственно гомологическая алгебра - коллективное достижение.

Date: 2009-01-23 02:32 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Да, социальные аспекты играют в науке несравненно большую роль, чем мне казалось в бытность мою студентом. К тому что Вы написали могу добавить, что в середине 70-х Квиллен переключился сначала на К-теорию, а затем на некоммутативную геометрию; Морава увлекся мат-физикой; а Мэй с Каном, по слухам, не разговаривали. В общем все это не способствовало нормальному развитию.

Скажем, бесконечномерные многообразия, на которых все это происходит, должны иметь дополнительную структуру, позволяющую строить "теорию гомотопий" - если угодно, они должны образовывать другую модельную категорию, отличную от обычной.

Звучит интригующе, но пока мало понятно. Если возможно, то поясните пожалуйста поподробнее свою идею.

Date: 2009-01-24 01:35 am (UTC)
From: [identity profile] sowa.livejournal.com
Квиллен сначал переключился на "гомологическую алгебру" (его диссертация у Ботта - "Formal Properties of Over-Determined Systems of Linear Partial Differential Equations"). Дальнейшие переходы Квиллена от одной задачи к другой было очень естественны - решение одной вело к следующей, если не формально, то по духу. Работал он в одиночку, на публике появлялся редко, так что его социальное влияние, видимо, близко к нулю.

Мэй и с Каном что-то не поделил! (Уже шла речь о Бордмане.) Что же это за кошмар такой?

Если бы я мог как следует сформулировать свою идею, то я бы, наверное, ее реализовал и работал бы в Гарварде. Насколько я себе представляю, в теории Дональдсона-Флоера-Сайберга-Виттена-... рассматриваются, в первом приближении, бесконечномерные многообразия, построенные по данному четырехмерному. Сами по себе они интересных инвариантов не имеют, но с исходного конечномерного многообразия приходит дополнительная структура, и изучаются когомологические инварианты этой структуры. Проблема в том, что никто не сформулировал явно, что это за структура, и все работают с объектами, строящимися в терминах исходного четырехмерного многообразия. В пользу этого говорит, в частности, то, что Дональдсон на самом деле не использовал сами уравнения Янга-Миллса - он сначал возмущал их. Грубо говоря, на многообразии есть каноническая функция - функционал Янга-Миллса, но работать с ней нельзя, потому что она не общего положения. (Есть трюк Уленбек, который позволяет получить функцию общего положения в терминах исходного многообразия, но это все равно надо сделать.)

Хотелось бы иметь цепочку конструкций: четырехмерное многообразия -> бесконечномерное многообразие с дополнительной структурой -> его "гомотопический тип" - не в обычном смысле, а основанный на этой дополнительной структуре.

Date: 2009-01-15 03:17 pm (UTC)
From: [identity profile] abhyasa.livejournal.com
Понятно почти все, кроме последнего предложения. О каких вычислениях идет речь? Нестабильные спектралки Адамса записывались уже давно: и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом (он ничего не опубликовал, к сожалению). То, что сложилась некая мотивная наука, позволяющая об арифметике судить универсально и триангулировано - не удивительно, арифметика слишком богата. Попробуйте найти спектралку, существенно использующую модельные категории, которая позволит вам вычислить K_4(Z).

Date: 2009-01-16 06:31 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Понятно почти все, кроме последнего предложения -- это плохо, ради него все и писалось.

О каких вычислениях идет речь? -- о вычислениях гомотопических групп пространств отображений между объектами абстрактной модельной категории.

Нестабильные спектралки Адамса записывались уже давно -- для пространств, да.

и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом -- Стовер ученик Кана, последнего не знаю.

...сложилась некая мотивная наука, позволяющая об арифметике судить универсально и триангулировано - не удивительно, арифметика слишком богата -- этого предложения я не понял.

Попробуйте найти спектралку, существенно использующую модельные категории, которая позволит вам вычислить K_4(Z) -- это не так-то просто сделать. Доказательство Рогнеса не простое и я уверен, что там не одна спектральная последовательность. Вообще же по Квиллену высшие К-группы это гомотопические группы некоего пространства, поэтому новой модельной категории тут не требуется. Просто наличие спектральной последовательности это не панацея. Если удается что-то посчитать, то это удача.

Date: 2009-01-16 06:37 am (UTC)
From: [identity profile] abhyasa.livejournal.com
> и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом -- Стовер ученик Кана, последнего не знаю.

Дрэкман - ученик Бауэса, написал всего пару статей. В своей диссертации построил интересную спектралку, похожую на спектралку Стовера, с помощью которой гомотопические группы пространств Мура вычисляются. Но это не опубликовано.

Рогнес на идеях Суле все построил, если насчет K_4(Z)=0 говорить. Там хорошая спектралка оказалась, К_3(Z) также считалось.

Вообще, спасибо, интересно.

Date: 2009-01-16 08:54 am (UTC)
From: [identity profile] abhyasa.livejournal.com
Перечитал постинг более внимательно. Абстрактная теория гомотопий - вещь замечательная, но интересует такой вопрос: есть ли утверждения классической теории гомотопий, для док-ва которых существенно требуется использование модельных категорий? Вы написали о Дваере-Кане. А можно привести "чистые" утверждения? Типа даны две категории (не модельные, а "чистые", приходящие из классического опыта, типа категории к.п. абелевых групп, гомотопические группы которой и есть К-функторы от Z), мы вычисляем (!) гомотопический тип пр-ва отображений между ними, используя какие-то модельные категории. Просто довелось как-то слышать от одного очень авторитетного математика, что модельные категории просто не нужны и являются надуманной абстракцией. Ведь есть еще кофибрантные категории Бауэса, да и еще куча всего. Вопрос прост: зачем нужны модельные категории с точки зрения классической теории гомотопий?

Date: 2009-01-17 02:33 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
есть ли утверждения классической теории гомотопий, для док-ва которых существенно требуется использование модельных категорий? -- например построение гомотопических локализаций. Если стремиться к функториальным конструкциям, то без техники модельных категорий не обойтись. Можно, конечно, притвориться, что мы не пользуемся модельными категориями, а всего лишь применяем small object argument, как это сделал Боусфилд в работе про локализацию пространств по отношению к гомологиям, но это самообман, поскольку реально все равно приходится работать в стандартной модельной категории пространств.

Вообще же модельные категории это удобный инструмент (вроде лопаты) часто применяющийся для внутренних задач теории гомотопий. Чаще всего можно обойтись и без них (можно выкопать яму и руками), но владение им сильно помогает. Например гомотопические копределы можно вычислять по формулам приведенным в Боусфилде-Кане, но если использовать совсем немного техники, то можно сказать, что это обычный копредел кофибрантной замены исходной диаграммы в проективной модельной категории диаграмм пространств (если есть лопата, то зачем копать руками?).

А можно привести "чистые" утверждения? -- я не понял вопрос.

... модельные категории просто не нужны и являются надуманной абстракцией -- это довольно распространенная точка зрения. Я с ней разумеется не согласен. Мне кажется, что основная причина ее распространения была в недостатке элементарных введений в эту область. Книжка Квиллена через-чур сложна для первого чтения, но с появлением статьи Двайера-Спалинского и книжки Хови ситуация начала улучшаться.

Date: 2009-01-17 07:34 pm (UTC)
From: [identity profile] abhyasa.livejournal.com
Спасибо. Вы хорошо объясняете. Если происходит некоторое непонимание с моей стороны, то оно связано скорее с проблемой восприятия, а не с проблемой изложения. Дело в том, что я слышал, что сам Квиллен относился к той категории авторитетов, которые считали модельные категории надуманными. Может, я не так понял? Еще раз спасибо за подробные ответы на нечетко сформулированные вопросы.

Date: 2009-01-20 03:14 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Про это мнение Квиллена мне слышать не доводилось. Он писал что-нибудь об этом?

Спасибо за интерес к моему посту.

Date: 2009-01-25 07:01 pm (UTC)
From: (Anonymous)
Другими словами, даже если данная модельная категория не имеет отношения к пространствам или симплициальным множествам (в частности не имеет оснащения над ними), все равно можно говорить о гомотопическом типе пространства отображений между объектами (серия работ Двайера и Кана)

Не подскажете ссылку на соответствующую конструкцию, в современном изложении (или оригинальном) ? Эта конструкция приводится у Хови ?

Date: 2009-01-26 01:53 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Хови приводит в 5-ой главе "Framings" приводит для любой модельной категории C конструкцию структуры модуля на гомотопической категории Ho(C) над замкнутой симметричной моноидальной категорией Ho(S). Оригинальные статьи (взяты с сайта Двайера, поэтому его имя опущено) вот:

(with D. M. Kan) Simplicial localization of categories, J. Pure and Applied Algebra (17), 1980, 267-284.
(with D. M. Kan) Calculating simplicial localizations, J. Pure and Applied Algebra (18), 1980, 17-35.
(with D. M. Kan) Function complexes in homotopical algebra, Topology (19), 1980, 427-440.

В оригинальных работах сделано несколько больше. Там показано, что Ho(C) получает оснащение над S, а не над Ho(S), но при этом игнорируются теоретико-множественные сложности возникающие при гамачной локализации и этот результат кажется пока не вошел в книги.

Date: 2009-01-27 03:01 am (UTC)
From: [identity profile] udod.livejournal.com
Спасибо, очень полезный обзор

Date: 2009-01-27 03:17 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Спасибо на добром слове. Хорошо бы еще ссылку на разговор с Калединым сюда добавить, но, боюсь, там скоро все перейдет на личности, не хочется сюда это тащить.

Date: 2009-01-27 09:29 am (UTC)
From: [identity profile] udod.livejournal.com
Дима человек замечательный, но буйный:)
From: [identity profile] mikhandr.livejournal.com
Вродь как, он говорил это Концевичу, кажется, они пришли к мысли- что так и есть... :-)

вопрос

Date: 2011-12-08 01:44 pm (UTC)
From: [identity profile] mikhandr.livejournal.com
Извините, а вы не в курсе:
дают ли структуру модельной категории на симплициальнх проконечных группах или хотя бы на симплициальных про-р-группах
расслоения- сюръективные гомоморфизмы,
слабые эквивалентноси- гомоморфизмы,которые индуцируют изоморфизмы гомотопических групп?
Есть ли там (хотя бы в про-р-случае) эквивалентность Кана?

Re: вопрос

Date: 2011-12-19 01:56 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Даже не сомневаюсь. Наверняка есть такая модельная категория, но в написаном виде не попадалась.

Советую взять модельную категорию для про-конечных симплициальных множеств и попробовать адаптировать для про-конечных симплициальных групп, используя модельную категорию Квиллена на симплициальных группах.

Re: вопрос

Date: 2011-12-19 04:55 pm (UTC)
From: [identity profile] mikhandr.livejournal.com
Там не очень получается..
Но неожиданно пришёл Квиллен со своей ТЕОРЕМОЙ4 гл.2 п.4 "Гомотопическая алгебра"!
... мужик сильно пишет.. зря я эту книгу недолюбливал..
Надо бы только разобраться со слабыми эквивалентностями.

Date: 2011-12-22 09:25 pm (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Да, именно эту теорему я имел в виду. Думаю что слабые эквивалетности можно выбрать такими как Вам нужно, но с расслоениями могут возникнуть сложности. Дело в том что для про-пространств гораздо легче описать корасслоения - essentially levelwise cofibrations, а расслоения получаются похожими на расслоения Риди.

Date: 2011-12-23 05:56 am (UTC)
From: [identity profile] mikhandr.livejournal.com
Мне кажется, что нужно следовать указаниям Квиллена.
На самом деле, в категории проконечных групп достаточно проективных объектов,в их качестве можно брать свободные проконечные группы {F(X)}.
Заметим, что свободные проконечные группы являются когрупповыми объектами в категории проконечных групп, т.е. симплициальное множество Hom(F(X),G)=G^X обладает групповой структурой, умножение получается из групповой структуры на G, где G-исходная симплициальная поконечная группа. Операторы граней и вырождения в Hom тоже получаются из G. Откуда замечаем, что расслоения и слабые эквивалентности, по Теореме 4 характеризуются в точности, как мы и хотели.
Именно, f: X->Y является расслоением (слабой эквивалентностью) тогда и только тогда, когда Hom(P,f): Hom(P,X)->Hom(P,Y) является расслоением (слабой эквивалентностью). В категории проконечных групп бывают и другие проективные объекты, однако тут срабатывает ретракт-аргумент, т.к. ввиду проективности P может быть включена в точную последовательность P->F(X)->P..
Получилось доказать, что пара сопряжённых функторов G^ W^-, где G- функтор Кана, W^-функтор классифицирующего пространства дают слабую эквивалентность GWГ->Г для любой симплициальной проконечной группы Г в такой модельной струтуре. Собственно это мне изначально и хотелось получить.
Кажется очень соблазнительным пойти дальше и попытаться ввести модельную структуру на категории редуцированных симплициальных проконечных пространств при помощи технологии-теоремы, которую я видел у Goerss, Schemmerhorn (мне кажется, что вы пишет о этой вещи), заметим, что пара сопряжённых функторов уже имеется!
А да, для чего это! Идеальным результатом могло бы стать получение эквивалентности Кана для редуцированных проконечных пространств, что суть одна из целей алгебраической топологии, т.к. мы получим "алгебраическую модель" редуцированных симплициальных проконечных пространств. Мне кажется, такой результат был бы рано или поздно очень востребован в "p-adic homotopy (симплициальные группы-суть так любимая энтузиастами \infty -модель).

Date: 2011-12-23 07:09 am (UTC)
From: [identity profile] mikhandr.livejournal.com
P.S. (очепятки)
следует читать:
Конечно же, не точная последовательность, а ретракция..
и
У меня :-) , получилось доказать, что пара сопряжённых функторов G^ W^-, где G- функтор Кана, W^-функтор классифицирующего пространства дают слабую эквивалентность GWГ->Г

Date: 2013-06-28 07:44 pm (UTC)
From: [identity profile] 66george.livejournal.com
Скажите, какие мнения в гомотопических кругах о новой книжке Воеводского и компании? Собираются ли учить теорию типов? Среди специалистов по теории типов большой энтузиазм "спихнём ZF, всё будет нашим!"

Date: 2013-06-29 06:39 am (UTC)
From: [identity profile] siyuv.livejournal.com
Книжку только что выложили для широкой публики. Мнений о ней пока слышать не доводилось. Я лично собираюсь почитать, но пока ещё не...

По отношению к новым основаниям пока приходилось сталкиваться только со скептицизмом. Но безусловно тот факт что теория типов аксиоматизирует гомотопическую категорию вызывет живейший интерес и требует тщательного обдумывания.
Page generated Jul. 22nd, 2017 02:44 pm
Powered by Dreamwidth Studios