Модельная категория Строма

[siyuv]

На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х.

Категория Строма часто упоминается, хотя мало где используется существенным образом. Это связано ни с какими-либо свойствами этой модельной структуры, а с тем, что гомотопические эквикалентности между топологическими пространствами в качестве слабых эквивалентностей оставляют слишком много гомотопических типов; изучать их достаточно тяжело и видимо бесперспективно. Так или иначе, но единственная известная мне работа действительно использующая модельную категорию Строма принадлежит Майклу Коулу (заранее прошу прощения у читателей не имеющих доступа к МathSciNet и другим рессурсам, но этот автор не заботится о доступности своих работ). Там строится новая модельная категория (смешанная из стромовской и стандартной), но что с ней делать дальше остается неясным.

Между тем свойства стромовской модельной категории весьма примечательны. Например все объекты в ней одновременно кофибрантны и фибрантны. До сих пор неизвестно существует ли аналогичная модель для топологических пространств со слабыми гомотопическими эквивалентностями (Марк Хови предполагает что нет).

Однако тот факт что эта модельная категория в серьез не изучалась в последние 35 лет похоже привел к тому, что полного доказательства сегодня никто не знает. Я это обнаружил когда прочитал вот этот пост Мэя в рассылке по алгебраической топологии. Там он указывает, что в оригинальной работе имеются некоторые "subtle points". Настоящие ли это дыры я не знаю, но судя по тому что его студент передоказал теорему Строма в более ограничивающих условиях (для компактно-порожденных пространств), настоящие.

Мой интерес к этой модельной категории был в ту пору (в 2003 году, когда Мэй писал свой пост) не вполне праздным. Я искал тогда примеры модельных категорий, не порождающихся корасслоениями. Стромовская категория -- очевидный кандидат, но действительно ли она не является кофибрантно-порожденной по-видимому не известно до сих пор, как впрочем и то, верна ли теорема Строма в изначально заявленной общности.

Comments

[sowa.livejournal.com]

"Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году?"

Не интересовался, но думаю, что такие люди есть. Общая топология - более-менее законченная наука, и важна не своими внутренними задачами, а языком, на котором могут изъясняться другие науки.

"Все упирается в финансирование."

Вы дважды упомнянули слово "финансирование". Это уведет нас далеко в сторону. Я считаю, что госфинансирование только вредит математике.

Да, Артин-Мазур, Э. Фридлендер - это первое, что приходит в голову.

"...тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на самом деле" и оказался прав."

А вот про это я не знаю. Как оно все устроено на самом деле?

" Разве не правомочно сказать, что предметом изучения алгебраической геометрии является категория алгебраических многообразий?"

Нет, конечно. Алгебраическая геометрия сушествовала раньше теории категорий, поменяла предмет изучения с алгебраических многообразий на схемы, затем расширила предмет до алгебраических пространств и стэков, и я не возьмусь предсказать, чем алгебраическая геометрия будет заниматься через 10 лет, и будет ли оно категорией.

"Для гомотопической категории хорошо бы, например, научиться вычислять множества морфизмов между объектами."

Может, и хорошо. Что значит "вычислять"? Гомотопические группы сфер вычислимы, а тольку-то?

"То есть формально, конечно же является (именно об этом работа Строма), но на практике ее прекратили активно изучать с появлениями работ старого(?) Уайтхеда и диссертации Серра."

Это просто неверно. Теория гомотопий развивалась в основном после диссертации Серра, а не до. Даже понятие расслоения Гуревича появилось после Серра.

"В последние же 30 лет мне вообще неизвестно ни одной работы посвященной сильным гомотопическим эквивалентностям..."

В последние 30 лет это не единственная и не главная проблема с развитием математики и вообще науки. (Это недавно обсуждалось в ЖЖ.) Честно говоря, мне трудно вообразить себе работу, "посвященную сильным гомотопическим эквивалентностям". Не намного легче, чем работу, посвященную "компактным топологическим пространствам".

"...это потребует дополнительного развития теории модельных категорий..."

У нас, несоменно, совершенно разное отношение к математике. Я не могу думать о развитии теории модельных категорий как о самостоятельной задаче - равно как и о развитии теории гомотопических эквивалентностей.

[siyuv.livejournal.com]

Вы дважды упомянули слово "финансирование" -- я имел в виду, что приложения необходимы любой области, чтобы убедить коллег в своей полезности, иначе ни то что грантов, рабочих мест не увидать последователям. По-поводу гос-финансирования я склонен с Вами согласиться (перечитал дискуссию годичной давности у Вас в журнале), но ведь институт Клэя и AIM вроде бы частные инициативы (сюда же наверное следует отнести институт Миттага-Леффлера, хотя сегодня он и поддерживается государством), так что не все потеряно.

Как оно все устроено на самом деле? -- Кроме симплициальных комплексов топологи рассматривали также кубические (Серр их использовал для вывода спектральной последовательности расслоения). Потом необходимость в них в основном отпала и их почти прекратили изучать (кроме Бангорской школы). Зато симплициальные комплексы переросли в симплициальные множества и развились в полноценную гомотопическую теорию. Оставался вопрос, а можно ли то же самое повторить для кубических множеств или каких-нибудь других, или же симплексы (категория конечных ординалов) какие-то особенные? Гротендик предложил рассматривать тестовые категории, характеризующиеся двумя свойствами: во-первых они должны быть стягиваемыми, а второе свойство более техническое, но наверняка имеет явный геометрический смысл, просто я что-то не соображу сейчас; вот лекция Жардина на эту тему. Так вот, первая гипотеза заключалась в том, что предпучки на тестовых категориях должны оснащаться модельной структурой эквивалентной пространствам. Эта гипотеза (и несколько других) была недавно (2003) доказана Сизинским (франц.; имеется так же пересказ Жардина по английски, который, кстати, за год до доктората Сизинского независимо построил модельную категорию для кубических множеств, но решил не публиковать когда увидел общее решение), а вся эта область получила название "гомотопической теории Гротендика" и активно развивается в основном, к сожалению, усилиями французской школы.

На сегодняшний день мне известно только одно утверждение, которое указывает на то, что симплексы чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще. Это лемма Мура говорящая что симплициальные группы автоматически фибрантны как симплициальные множества. Я спрашивал и у Жардина и у Сизинского, они не знают выполняется ли это свойство в других категориях. Хорошая тема для мастерской диссертации.

Зашкалил за лимит ЖЖ для длинны комментов, продолжение следует.

[sowa.livejournal.com]

Клэй - в основном a public relation stunt. Это способ поддерживать не математику, а репутацию Клэя. Пожалуй, на данный момент его деятельность вреднее госфинансирования. AIM будет потише. Но их манера организовывать конференции...

Спасибо за ссылки. Все это очень интересно, но мне осталось непонятным, почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?".

Симплексы, на мой взгляд, хороши тем, что возникают естественно.

[siyuv.livejournal.com]

...почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?" -- потому, что показывает что симплексы ни чем не лучше чего бы то ни было еще. Дискретные модели гомотопических типов пространств можно строить из чего угодно. Это важное концептуальное заключение, хотя не уверен, что с практической точки зрения оно будет иметь какие-то последствия в ближайшее время. Слишком хорошо проработана симплектическая теория, чтобы от нее отказываться. У кубов есть некоторые технические преимущества (произведение кубов снова куб), но они пока не перетягивают чашу весов.

Мне известен только один контекст, в котором симплексы появляются "естественно". Это комбинаторное описание полиэдров при помощи симплициальных комплексов. Топологи давно отказались от него из-за чудовищных категорных свойств, но комбинаторики, в особенности алгебраические, продолжают использовать, приводя даже топологические аргументы, которые не всегда просто перевести на язык симплициальных множеств, хотя такой перевод добавляет понимания.

[sowa.livejournal.com]

Мы по-разному понимаем вопрос "Как оно все устроено на самом деле?"

С моей точки зрения, то, что что-то можно делать иначе, не имеет к нему никакого отношения.

Симплексы появились естественно в теории гомологий. То, что произведение кубов является кубом, известно давно, и даже использовалось, но то, что за почти 60 лет это не привело к распространению кубов, на мой взгляд, кое-то о них говорит.

[siyuv.livejournal.com]

Симплексы появились естественно в теории гомологий -- Вы слишком часто используете слово "естественно". Поскольку в теории категорий оно имеет строгий смысл, мне все время хочется потребовать у Вас доказательство. Кубы тоже появились в теории гомологий, ну и что? Как определить кто более естественен? Ответ на вопрос: "Чем симплексы лучше?", получен -- ничем (кроме леммы Мура, с которой вопрос пока открыт). Все кроме комбинаториков (или комбинаторов?) вроде бы удовлетворены. Видимо Вы занимаетесь комбинаторикой. Учитывая Вашу эрудированность в некоторых областях, скорее алгебраической комбинаторикой. Прошу не считать это попыткой вскрыть Вашу real identity.

[sowa.livejournal.com]

Нет, мое употребление слова "естественный" имеет слабое отношение к его специфическому категорному смыслу. Пересечение, конечно есть. Я использую его в обычном разговорном смысле.

Кубы появились в теории гомологии - и исчезли. Для меня это свидетельство того, что они неестественны. То, что и симплексы, и кубы, и еще что-то удовлетворяют некоторому набору аксиом, никак не может означать, что симплексы "ничем не лучше". Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать. Есть масса конструкций, которые ведут к каноническому разбиению на симплексы полезных пространств. И я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба.

Любопытно, что меня уже не в первый раз принимают за специалиста по алгебраической комбинаторике. Правда, раньше принимали за вполне конкретного.

[siyuv.livejournal.com]

Кубы появились в теории гомологии - и исчезли -- до конца никогда не исчезали; Рони Браун даже как-то обиделся на Жардина за то, что тот высказался в этом духе в своем препринте. Но даже если и исчезли, вон теперь снова появились. Это о чем говорит? Миша Поляк как-то агитировал за кубические комплексы, через которые удобно определять инварианты конечного типа. Одним из аргументов был следующий. Помните старые советские пакеты из-под молока? Тетраэдральные? Так вот, в конце концов их заменили на прямоугольные параллелепипеды, так что кубы всегда побеждают.

Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать -- может быть, но этот эффект не измерить. На одном семинаре по комбинаторике меня позабавило, что докладчик все время говорил про джойны симплициальных комплексов, но ни разу не упомянул про их произведение. В какой-то момент я спросил почему бы не воспользоваться произведением? На что получил ответ, что оно не определено. Я попытался объяснить, что можно перемножить пространства, а потом взять какое-нибудь разбиение на симплексы, и что с джойном по сути происходит тоже самое, но тут меня спросили что такое джойн топологических пространств... Вобщем стало понятно, что у нас отсутствует достаточная общая база для конструктивного обсуждения. Не от излишнего ли увлечения симплексами это произошло?

...я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба -- скорее всего такая конструкция Вам пока была не нужна. Не думаю что возникли бы сложности с ее построением, понадобись она кому-нибудь. Например аналог сингулярного функтора в кубическом случае имеется.

[sowa.livejournal.com]

Вряд ли Вы считаете аргумент с молочными пакетами серьезным.

"...может быть, но этот эффект не измерить."

Очень даже можно. Сколько работ используют симплициальные множества и "симплициальные комплексы" (в классическом смысле), и сколько - кубы?

Если кто-то не знает, как триангулируется произведение двух симплексов - это значит только то, что он плохо учился.

Про сингулярные кубические гомологии я знаю. Я не знаю естественно возникающего пространства с естественным разбиением на кубы.

[vanja-y.livejournal.com]

Разбиение треугольника на три "квадрата":

 
---------------------
 \        |        /
  \       |       /
   \      |      /
    \    / \    /
     \  /   \  /
      \/     \/
       \     /
        \   /
         \ /
          V

Более общо, n-мерный симплекс можно разбить на (n+1) n-мерный куб.

[sowa.livejournal.com]

Да, конечно.

[siyuv.livejournal.com]

...поменяла предмет изучения с алгебраических многообразий на схемы -- меня просто всегда учили, что не стоит излишне углубляться в абстракции, мол математика изучает числа и фигуры. Я, правда, все равно увлекся модельными категориями, но всегда объясняю свой интерес к ним конкретными задачами, связанными с пространствами. Если бы
я написал в Research Statement что-либо другое, то вряд-ли получил хоть какую-то позицию. Мне кажется, что в алгебраической геометрии дела обстоят схожим образом: часть людей вовсе не использует ни схемы ни алгебраические пространства (я таких не встречал, но мне говорили что имеются и весьма влиятельны), а те кто используют в обязательном порядке мотивируют свой интерес к ним конкретными задачами.

Что значит "вычислять"? -- вычислять означает получить эффективные средства вычислений, принципиальная вычислимость никому не помогает.

Теория гомотопий развивалась в основном после диссертации Серра -- конечно, золотой век настал. Только не для классической теории.

Даже понятие расслоения Гуревича появилось после Серра. -- действительно, я даже не знал, опубликовано в 55 году. Видимо работа Серра его подтолкнула к тому чтобы обобщить старые идеи с помощью поднятия гомотопий. Но это ничего не меняет, в 41 году Гуревич и Стинрод опубликовали гомотопическую точную последовательность расслоения. Понятие расслоенного пространства у них было, кажется, более общее чем локально тривиальное расслоение. После 55 года классическую теорию продолжала развивать в основном немецкая школа (но занималась она далеко не только этим). В любом случае, на сегодняшний день вся эта активность практически прекратилась.

Есть еще теория шейпов, которая видимо наиболее активно изучала гомотопические типы отличные от полиэдров, но они пошли по другому пути, моделируя свои пространства обратными системами "хороших" пространств и пришли к изучению про-категории пространств (Эдвардс и Хэстингс первыми построили на про-пространствах модельную структуру), но сегодня даже эта активность почти сошла на нет.

Это недавно обсуждалось в ЖЖ -- я видимо пропустил, а где не припомните?

...чем работу, посвященную "компактным топологическим пространствам" -- Вы правы, однако причины у такой заброшенности разные. Компактные пространства очень хорошо изучены с точки зрения теоретико-множественной топологии. Про них были доказаны нетривиальные результаты в 30х годах (например Понтрягиным). С изучением же сильных гомотопических типов ничего не продвинулось дальше элементарных результатов, никакие современные методы на них не перенесены (и видимо никто не ожидает, что могут быть перенесены). В результате вся эта область потеряла актуальность.

Я не могу думать о развитии теории модельных категорий как о самостоятельной задаче -- я тоже этого не делаю, мной всегда руководит конкретная задача. Сформулировать задачи для которых бы потребовалась модельная категория Строма не сложно, например построить гомотопическую локализацию в сильной категории, но я не вижу мотивации, чтобы их решать.

[sowa.livejournal.com]

Вы слишком много сами себе противоречите. Не надо углубляться в абстракции, но Вы в них углубились. Вы не знаете алгебраических геометров, не работающих со схемами, и говорите, что схемы - не предмет алгебраической геометрии.

Должен Вам сказать, что Вы придаете слишком большое значение Research Statement. Честно говоря, никто их не читает. Разве что кто-нибудь взглянет, чтобы выудить зацепку для разговора во время интервью.

Что Вы понимаете под классической теорией, стало совсем непонятным. Я было думал, что теорию гомотопий, связанную с расслоениями Гуревича, но она вся после 55-го года. В работе Стинрода-Гуревича несколько ослаблено понятие локально тривиального расслоения. Свойство накрывающей гомотопии там теорема (как теоремой оно является и для локально тривиальных расслоений), а не аксиома (надо думать, что толчком к превращению его в аксиому была работа Серра).

Я хотел бы подчеркнуть, что я нигде не предлагал изучение гомотопических типов произвольных пространств как разумную цель. Так что убеждать меня в этом не надо. Мне кажется, что Вы прилагаете много усилий к этому.

http://flying-bear.livejournal.com/625266.html. Еще было небольшое продолжение у posic'а.

[siyuv.livejournal.com]

Вы не знаете алгебраических геометров, не работающих со схемами -- извините за задержку с ответом: коллега, который говорил мне об этом не проверял почту во время праздников. Сейчас он вернулся и предложил в качестве примера книжку Гриффитса-Харриса, в которой схемам посвящена ровно одна страница. Отсюда я делаю вывод, что люди занимающиеся комплексно-аналитической геометрией легко могут обойтись без схем.

Не надо углубляться в абстракции, но Вы в них углубились -- это противоречие между тем чему меня учили и моим карьерным путем, а не в моей аргументации. Я готов его обсуждать, но вряд ли Вам это будет интересно.

Вы придаете слишком большое значение Research Statemen -- спасибо, учту на будущее.

Что Вы понимаете под классической теорией, стало совсем непонятным -- классический этап развития гомотопической топологии это все работы изучающие пространства с точностью до (сильной) гомотопической эквивалентности (Пуанкаре, Александров, Хопф, Понтрягин,...). Выбор расслоений вторичен и до некоторой степени произволен. Классический этап в основном завершился с появлением работ Вайтхеда, подкрепленными весьма убедительными вычислениями Серра. Изменился сам предмет изучения алгебраической топологии, т.е. стали изучать пространства с точностью до слабой эквивалентности. Разумеется классический этап не мог закончиться сразу, в конце-концов оставались люди, которые не смогли/не захотели выучить спектральные последовательности, и не все они подались в дифуры, как Понтрягин. Наверное именно к этому течению следует отнести работу Гуревича, хотя, повторюсь, расслоения можно брать и по Гуревичу (именно об этом работа Коула). Из значимых работ посвященных сильным эквивалентностям вспоминается только теорема Милнора (упоминается в Фоменко-Фуксе без доказательства) о том, что пространство отображений двух полиэдров гомотопически эквивалентно CW-комплексу. Приведенный Вами пример из В. Пуппе тоже вроде бы в этом ключе.

За ссылку спасибо -- очень интересно.

[sowa.livejournal.com]

Комплексно-аналитическая геометрия - это несколько другой предмет, нежели алгебраическая геометрия. И там тоже есть свой аналог схем - аналитические пространства, но это слишком трудный предмет для нового поколения.

Если даже Вы не следуете тому, чему Вас некие люди учили, то с какой стати к этому учению прислушиваться тем, кого этому не учили?

Пуанкаре не изучал пространств с точностью до гомотопической эквивалентности. Я не уверен, что у него было это понятие. И Александров, Хопф, Понтрягин - тоже. Вообще, мы тут сильно расходимся в том, что является предметом той или иной науки. Несколько философский вопрос. Более-менее никто не изучал и не изучает произвольные пространства с точностью до гомотопической эквивалентности. Изучают интересные вопросы про пространства, обычно довольно простые. Другие пространства появляются по ходу дела, вроде пространств отображений (работа Милнора очень простая - он просто сделал некую полезную работу). Для работы с этими другими пространствами нужен некий framework, и не всегда удобно проверять, что каждое возникающее пространство гомотопически эквивалентно CW-комплексу.

Спор у нас довольно беспредметный. Вы занимаетесь неким предметом, там не нужны никакие "общие" пространства, и Вас больше интересует то, что симплициальные множества можно заменять на другие категории, нежели то, что есть какие-то результаты применимы к довольно обширным классам пространств. А меня больше занимает в данный момент то, что теорию гомотопий можно построить для широкого класса пространств. Я вас не агитирую бросать Ваши занятия, и, наверное, не стоит убеждать меня в том, что интересная мне тема неинтересна.

Кстати, Гуревич не относится к числу тех, кто не смог выучить спектральные последовательности.

[siyuv.livejournal.com]

...с какой стати к этому учению прислушиваться тем, кого этому не учили? -- у Вас кажется сложилось впечатление, что я критикую абстрактную математику. Это было бы странно, учитывая мою специализацию. Я всего лишь высказал мысль, что предметом изучения гомотопической топологии являются пространства с точностью до слабых эквивалентностей. Различные абстрактные понятия для этого весьма полезны. Более того, они часто представляют интерес сами по себе, но вряд ли можно говорить, что они подменяют собой основной предмет, поскольку не вся наука переключается на их изучение (например эквивариантная топология). Бывает и так, что какая-то абстракция срастается с абстракциями из других областей математики и тогда можно говорить о новой науке (например К-теория). Стабильная гомотопическая теория пока где-то по середине.

Я не уверен, что у него было это понятие -- понятия групп (ко)гомологий у него тоже не было. Это не помешало ему доказать теорему двойственности. Александров, Хопф, Понтрягин - тоже -- Ну а что же они изучали? Другого предмета для изучения у них вроде бы не было. Конечно они понимали бесперспективность изучения всех гомотопических типов и всячески себя ограничивали (многообразиями, трианглированными пространствами, и т.д.). Это и привело в конце концов к революции Вайтхеда-Серра.

Изучают интересные вопросы про пространства, обычно довольно простые -- Разумеется, каждая конкретная работа изучает какой-то интересный вопрос, но про целую область математики так говорить, мне кажется, неправомерно. Ну а кончатся интересные вопросы, это означает конец области? Мне кажется нет. Предметом изучения должно быть что-то недостижимое (решение всех диафантовых уравнений или классификация всех гомотопических типов). Если предмет изучения себя не исчерпал, то со временем могут появиться новые подходы, новые идеи. Адамс 66-м году сказал на конгрессе в Москве, что гомотопическая топология выполнила поставленные перед ней задачи (мне не удалось найти ссылку, цитирую с чужих слов). На тот момент кончились интересные вопросы. И это при том, что Адамс считал, что топология должна заниматься пространствами, а симплициальные множества через чур абстрактны. Прошло 40 лет уже, а область жива. Появились новые идеи, новые применения...

Спор у нас довольно беспредметный -- он возник из того, что Вы меня упрекнули в чрезмерной узости взглядов. Я всего лишь пытаюсь оправдаться.

...наверное, не стоит убеждать меня в том, что интересная мне тема неинтересна -- вот уж и в мыслях не было, тем более, что Вы не рассказываете чем Вы занимаетесь.

Гуревич не относится к числу тех, кто не смог выучить спектральные последовательности -- я этого не утверждал.

[sowa.livejournal.com]

" Я всего лишь высказал мысль, что предметом изучения гомотопической топологии являются пространства с точностью до слабых эквивалентностей."

Я утверждаю, что этого никогда не было. Я не знаю ни одной нетехнической (не вспомогательной) значительной работы о "пространства с точностью до слабых эквивалентностей". Может, у Вас есть пример?

"Ну а что же они изучали?"

Вряд здесь есть место для очерка по истории топологии. Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например.

Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром.

" Ну а кончатся интересные вопросы, это означает конец области?"

Да, конечно. Это совсем не оригинальная точка зрения.

Адамс сказал, что "most of the basic (теории гомoтопий) principles are known". Далее он говорит о том, что "when you contemplate some of the tabulated data, orderly patterns are hard to find". Действительно, топологи почти не способны находить закономерности в числовых данных - в противоположность теоретико-числовикам, например. Может, их там и нет, а может, они не видят - не знаю.

К словам Адамса в 1966-м надо относиться с большой осторожностью. В 1965-м он перенес "the first attack of a psychiatric illness, as a result of which he was on sick leave for some months." Уровень его работ никогда больше не вернулся к тому, что был до болезни. Будучи бесспорным лидером теории гомотопий на тот момент, он мог принять отсутствие идей у себя за их отсутствие вообще.

"Разумеется классический этап не мог закончиться сразу, в конце-концов оставались люди, которые не смогли/не захотели выучить спектральные последовательности, и не все они подались в дифуры, как Понтрягин. Наверное именно к этому течению следует отнести работу Гуревича..."

Трудно понять эту фразу иначе, как то, что Гуревич относится к тем, кто не смог или не захотел изучить спектральные последовательности.

""Спор у нас довольно беспредметный" -- он возник из того, что Вы меня упрекнули в чрезмерной узости взглядов. Я всего лишь пытаюсь оправдаться."

Увы, не получается.

[siyuv.livejournal.com]

Может, у Вас есть пример? -- да в общем-то любая работа по гомотопической топологии. Возьмите хотя бы инвариант Хопфа = 1. В гомотопической категории рассматриваются отображения из S^{2n-1} в S^n. Им ставятся в соответствие числа (инвариант Хопфа). Спрашивается: для каких n инвариант Хопфа может быть равен 1. Ответ: 2, 4 и 8.

Возьмите книгу Дьедонне на эту тему, например -- я Вас попросил сформулировать что является предметом изучения некой области, а Вы мне в ответ предлагаете почитать про историю ее развития. Это конечно интересно, но не тоже самое. Я просто не могу уловить в чем наше расхождение. Хотя похоже оно весьма фундаментально.

Меня удивляет, что Вы постоянно объединяете Уайтхеда (причем я так и не понял, которого) с Серром. -- Сначала я этого Уайтхеда назвал старшим -- Вы возразили, потом я назвал его старым -- Вы промолчали. Я перестал его как-то определять, решив что Вы уже поняли о ком идет речь. Я их не объединяю, а обозначаю переходный этап в развитии топологии. Их работы появились на рубеже 49-50 годов и обозначили революцию в области. Уайтхед ввел новый предмет изучения, а Серр убедительно показал, что этот предмет гораздо более интересный, чем тот что рассматривался до этого.

Это совсем не оригинальная точка зрения -- я догадываюсь, но на мой взгляд она часто бывает ошибочной. Вот история про Атиа, рассказанная как-то на лекции МакФерсоном: в какой-то момент Атиа всем говорил, что теория узлов это пройденный этап, изучать там больше нечего. Но через 10 лет, когда нашлись применения в физике, появились новые идеи тот же Атиа стал всем говорить что нужно заниматься теорией узлов. Когда его спросили: как же так, ведь 10 лет назад Вы говорили ровно противоположное. Он нашелся что ответить: "Я был прав тогда, прав и сейчас."

Примерно то же произошло/происходит с гомотопической теорией.

most of the basic (теории гомoтопий) principles are known -- А откуда вы цитируете, можно ссылку, пожалуйста? Я думал, что это его речь на конгрессе. Он это где-то написал?

К словам Адамса в 1966-м надо относиться с большой осторожностью -- про его болезнь я не знал. Будучи неправым по срокам (он не предвидел блестящих работ Квиллена, Сулливана, Сигала в начале 70х), Адамс оказался прав глобально. Это не секрет, что с середины 70х до середины 80х вся область находилась в упадке. Работ филдсовского уровня не было; статьи в Annals если и появлялись, то как правило решали задачи поставленные в начале 70х методами разработанными в начале 70х (нестабильный аналог спектральной последовательности Адамса).

Но предмет изучения гомотопической тополигии никуда не исчез (также как и теории узлов) и продолжал вызывать интерес. В конце 80х начался подъем и сегодня у нас практически ренессанс. Новые идеи, новые приложения... Появились новые интересные задачи.

Опять зашкалил за длину комента...

[sowa.livejournal.com]

Проблема инварианта Хопфа - это не проблема о пространствах с точностью до слабых гомотопических эквивалентностей. Это проблема об отображниях сфер в сферы. Очень странно, что Вы привели ее в качестве примера, поскольку она в точно такой же степени является или не является проблемой о пространствах с точностью до сильной гомотопической эквивалентности.

Вы спросили, "Ну а что же они изучали?" На этот вопрос в двух словах не ответишь, и я отослал Вас к книге, в которой это подробно рассказано. Расхождение действительно фундаментально - Вы полагаете, что ответ на вопрос о том, чем занимается наука, можно дать на школьном уровне ("геометрия изучает плоские и пространственные фигуры"), я полагаю, что ответ можно дать только познакомившись с тем, чем реально занимались и занимаются в данной области.

Дж. Г. К. Уайтхед (видимо, речь идет о нем) не ввел никакого нового предмета изучения. Он ввел техническое средство, CW-комплексы. Серр ничего про этот "предмет" не доказал - он даже не цитирует ни одной работы Уайтхеда в своей диссертации.

Атийя действительно был прав оба раза. То, что два совершенно разных, почти не пересекающихся предмета можно назвать "теорией узлов", ничего не доказывает. Никаких приложений у классической теории узлов к физике нет. Стоит ли ей заниматься - спорный вопрос; некоторые всегда считали, что стоит, некоторые - что нет. Новый предмет, возникший в конце 80-х, является на самом деле не теорией узлов, а теорией специфических инвариантов узлов. Перспектива другая, задачи другие - это другой раздел математики.

"Примерно то же произошло/происходит с гомотопической теорией."

Возможно, теорией гомотопий просто стал называться другой предмет. Пока я не вижу, чем он интересен.

Я цитирoвал доклад Адамса на Конгрессе в Москве, а про болезнь - некролог в Bull. London Math. Soc.

" В конце 80х начался подъем и сегодня у нас практически ренессанс. Новые идеи, новые приложения... Появились новые интересные задачи."

Мне, как человеку постороннему, этого не видно. В тоже время мне видны многие достижения в областях, далеких от моих собственных интересов. Все, что Вы здесь упоминали - это, на мой взгляд, внутренние технические достижения. Специалистам, они, возможно, кажутся подъемом, но я отношусь к таким заявлениям скептически, повидав на своей жизни десятки предисловий, начинавшихся слова "Исследования в области Х переживают небывалый расцвет". Так что burden of proof снова на Вас: что за приложения, что за задачи?

[siyuv.livejournal.com]

Трудно понять эту фразу иначе, как то, что Гуревич относится к тем, кто не смог или не захотел изучить спектральные последовательности -- речь шла про конкретную работу Гуревича. Саму работу я не читал, но вот Спаниер пишет в реферате:

...A fiber space is regular if and only if it satisfies the covering homotopy condition with the covering homotopy constant when the base homotopy is constant. It is shown that every fiber space over a metric $B$ is regular.

The triple $(E,B,p)$ is called a local fiber space if for every $b\in B$ there exists a neighborhood $U$ of $b$ such that the triple ($p^{-1}(U)$, $U$, $p|p^{-1}(U)$) is a fiber space. The main theorem asserts that a (regular) local fiber space over a paracompact space $B$ is a (regular) fiber space in the large. It follows from this that a local fiber space satisfies the covering homotopy condition for maps of paracompact spaces...

Очевидно, что автора очень интересуют тонкости связанные с теоретико-множественной топологией, поэтому конкретно эту работу следует отнести именно к "классическим". У меня не было цели как либо принизить заслуги Гуревича, тем более, что именно он ввел понятие гомотопических групп, которое и легло в основу определения слабых эквивалентностей.

Увы, не получается. -- ну тогда я, пожалуй, прекращу оправдываться, смешно это как-то. Да и не сам я дошел до этой нехитрой мысли. Вот и Постников меня поддерживает (сделайте поиск по странице на фразу "предмет так называемой гомотопической топологии"), а уж его-то вряд ли можно упрекнуть в узости взглядов (Новиков где-то писал, что именно он положил начало на мех-мате занятиям по новой датировке истории).

[repressii.livejournal.com]

По факту - и Гриффитс и Харрис прекрасно владели схемами,
а основатель современного комплексного анализа
Грауэрт еще в 1950-е изучал схемные и пучковые техники,
и пытался воспроизвести их в комплексно-аналитической
ситуации (в чем и преуспел: теорему о полунепрерывности
когомологий он доказал параллельно с Гротендиком).

Что в книге [GH] схем нет - это потому, что она написана
для людей, которые знают схемы. Без знакомства с основами
алгебраической геометрии (вплоть до схем, когерентных
пучков и производных категорий) там ничего понять
нельзя, потому что делается неинтересно.

Вообще [мой] опыт показывает, что люди, применяющие
трансцендентные методы в алгебраической геометрии, превосходно
владеют схемами и пучками. Один из главных авторитетов этой науки,
Фуджики, прославился тем, что построил теорию пространств
модулей на категорном языке, но в кэлеровой геометрии.
Это отчасти труднее, но не менее красиво, чем у Гротендика.

Апропос - в последние 5-10 лет комплексные аналитики
активно занимаются модельными категориями, ибо обнаружили
их в комплексном анализе. Вот образчик
http://www.math.uwo.ca/~larusson/papers/prestack/prestack.ps

Такие дела
Миша

[sowa.livejournal.com]

Миша, ну я в курсе, что Гриффитс и Харрис владеют схемами и пучками.

В книге отнюдь не утверждается, что для ее чтения надо владеть схемами. Она позиционирует себя к введение в предмет. И ее используют для таких целей.

Мне кажется, что нынешняя активность в теории аналитических пространств несопоставима ни с временами Грауэрта, ни с текущей активностью в алгебраической геометрии. Буду только рад, если Вы меня в этом разубедите.

[repressii.livejournal.com]

>Она позиционирует себя к введение в предмет. И ее используют для таких целей.

Не встречал подобного ни разу. Несколько раз читал курсы по Гриффитсу-Харрису,
слушатели были всякий раз знакомы со схемами и пучками лучше, чем с
почти комплексными многообразиями.

Касательно позиционирования, Харрис позиционирует эту книгу
как полную ошибок, и читать ее не рекомендует. Насчет
Гриффитса не знаю. Но Гриффитс математику давно уже бросил.

>Мне кажется, что нынешняя активность в теории аналитических пространств

Основной результат а.г. последних 20-30 лет - доказательство
MMP в статье Birkar, Cascini, Hacon, Mckernan (это не мое
мнение, а общепринятое среди специалистов по а.г., в
формулировке "основной результат математики последних
20 лет", я сам не энтузиаст).

Аналитическое доказательство MMP было получено Сиу за год-два
до BCHM, но никто разобраться в нем не может, потому
что людей подобной квалификации очень мало (надо знать
и схемную геометрию, и L^2-оценки; таких людей вдесятеро
меньше, чем классических а.г. школы Харриса и Лазарсфельда,
как МакКернан и косвенно остальные). В результате Сиу никто
не верит, хотя Хакон вежливо ссылается на его доказательство
как на верное.

Аналогичные вещи имеют место постоянно - большинство результатов
а.г последних 10-15 лет (все, что касается multiplier ideal sheaves,
например, и Kawamata vanishing) получены параллельно трансцендентными
методами, и классическими. Причем трансцендентные концептуально
гораздо яснее, а в классических всегда идет трудоемкая подгонка
техники под ответ.

Мораль - по соотношению количества людей к результатам
трансцендентная алгебраическая геометрия вдесятеро активнее
классической, но людей мало, соответственно, по результатам
получается примерно поровну.

Такие дела
Миша

[siyuv.livejournal.com]

...комплексные аналитики активно занимаются модельными категориями -- мне кажется, что это через чур сильно сказано. Вы знаете кого-нибудь кроме Финнура, кто бы внедрял гомотопические методы в комплексном анализе? Да и Ф.Л. давно оставил попытки убедить своих коллег в полезности модельных категорий. Или я что-то упустил? Хотя конечно первый шаг сделан, надеюсь со временем методы приживутся.

[repressii.livejournal.com]

лично не знаю, и даже по именам, пожалуй, не знаю
но вот только на неделе в arxiv.org выложили две статьи по тематике,
и на каждой конференции по CV присутствует докладчик на тему
гомотопических категорий

полезности этого лично я не
вижу, но CV (не трансцендентные
методы в AG, а лично CV) сейчас пребывает
в таком упадке, что готовы чем угодно
заниматься, 80% специалистов вообще давно
бросили CV и перешли в комплексную динамику